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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1.- Análisis
La empresa 'Plátanos Islas Canarias' se dedica a la producción de plátanos, un cultivo muy importante en las islas. Los costes de producción están dados por la función: C(x)=3x5x2+1,x≥0C(x) = \frac{3x}{5\sqrt{x^2 + 1}}, x \geq 0 donde C(x)C(x) son miles de €, xx miles de kilos de plátanos producidos. Responder a las siguientes preguntas.
a)0,5 pts
Averiguar el coste de la producción de un kilo de plátanos.
b)0,5 pts
Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes de plátanos, ¿a qué valor tenderían los costes de producción de los plátanos?
c)0,75 pts
Un economista afirma que superada cierta cantidad de kilos producidos, el coste de producción disminuirá. Justificar la veracidad de la afirmación del economista.
d)0,75 pts
Calcular: ∫04C(x)dx\int_{0}^{4} C(x) dx. Interpretar el resultado en el contexto del problema.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1.- Análisis
Dada la función definida por: f(x)=ln⁡(x+2)+a3x+4f(x) = \frac{\ln(x + 2) + a}{3x + 4}
a)1,25 pts
Determinar el valor de aa sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−1x = -1 es 10. Dar la expresión de la función.
b)1,25 pts
Para el valor a=0a = 0, estudiar el dominio y las asíntotas de la función f(x)f(x).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2.- Álgebra
Resolver el siguiente sistema matricial: {5X−4Y=(56−14−51)4X−6Y=(4226−4−2)\begin{cases} 5X - 4Y = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix} \\ 4X - 6Y = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix} \end{cases}
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2.- Álgebra
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro k∈Rk \in \mathbb{R}: {kx+y−3z=5−x+y+z=−4kx+y−kz=1\begin{cases} kx + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ kx + y - kz = 1 \end{cases}
a)1,25 pts
Discutir la resolución del sistema según los valores del parámetro kk.
b)1,25 pts
Resolver el sistema cuando k=4k = 4.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3.- Geometría
En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes: P(−7,3,4),r:{x+y−1=0x+z+1=0,π:x+2y−5z+5=0P(-7, 3, 4), \quad r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}, \quad \pi: x + 2y - 5z + 5 = 0
a)1,5 pts
Encontrar el punto QQ intersección del plano π\pi con una recta ss. Esta recta ss es una recta paralela a la recta rr y que pasa por el punto PP.
b)1 pts
Hallar el ángulo que forma la recta rr y el plano π\pi.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3.- Geometría
En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes: r:{3x+2y−z=12x−y+z+4=0;s:{x=3+λy=λz=1+λr: \begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + z + 4 = 0 \end{cases}; \quad s: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}
a)1,5 pts
Estudiar la posición relativa de las rectas rr y ss.
b)1 pts
Encontrar el plano π\pi, paralelo a la recta ss y que contiene a la recta rr.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4.- Probabilidad
En un avión de pasajeros se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, 0,960{,}96, 0,980{,}98 y 0,990{,}99.
a)0,5 pts
Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos.
b)0,75 pts
Calcular la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente.
c)1,25 pts
Calcular la probabilidad de que funcione algún paracaídas.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4.- Probabilidad
Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale un número par.
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área sombreada representando F(x) = P(Z ≤ x).
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área sombreada representando F(x) = P(Z ≤ x).
a)1,25 pts
Si juega 100 veces, calcular la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones.
b)1,25 pts
Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que 3/43/4. Justificar si esta afirmación es cierta o no.
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