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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Debe responder sólo una pregunta de cada bloque de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque, se considerará sólo la primera pregunta respondida. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1Análisis
La empresa 'Plátanos Islas Canarias' se dedica a la producción de plátanos, un cultivo muy importante en las islas. Los costes de producción están dados por la función:C(x)=3x5x2+1,x≥0C(x) = \frac{3x}{5\sqrt{x^2 + 1}}, x \geq 0donde C(x)C(x) son miles de €, xx miles de kilos de plátanos producidos. Responder a las siguientes preguntas.
a
Averiguar el coste de la producción de un kilo de plátanos.0,5 pts
b
Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes de plátanos, ¿a qué valor tenderían los costes de producción de los plátanos?0,5 pts
c
Un economista afirma que superada cierta cantidad de kilos producidos, el coste de producción disminuirá. Justificar la veracidad de la afirmación del economista.0,75 pts
d
Calcular: ∫04C(x)dx\int_{0}^{4} C(x) dx. Interpretar el resultado en el contexto del problema.0,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1Análisis
Dada la función definida por: f(x)=ln⁡(x+2)+a3x+4f(x) = \frac{\ln(x + 2) + a}{3x + 4}
a
Determinar el valor de aa sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−1x = -1 es 10. Dar la expresión de la función.1,25 pts
b
Para el valor a=0a = 0, estudiar el dominio y las asíntotas de la función f(x)f(x).1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra
Resolver el siguiente sistema matricial:{5X−4Y=(56−14−51)4X−6Y=(4226−4−2)\begin{cases} 5X - 4Y = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix} \\ 4X - 6Y = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix} \end{cases}
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro k∈Rk \in \mathbb{R}:{kx+y−3z=5−x+y+z=−4kx+y−kz=1\begin{cases} kx + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ kx + y - kz = 1 \end{cases}
a
Discutir la resolución del sistema según los valores del parámetro kk.1,25 pts
b
Resolver el sistema cuando k=4k = 4.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3Geometría
En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:P(−7,3,4),r:{x+y−1=0x+z+1=0,π:x+2y−5z+5=0P(-7, 3, 4), \quad r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}, \quad \pi: x + 2y - 5z + 5 = 0
a
Encontrar el punto QQ intersección del plano π\pi con una recta ss. Esta recta ss es una recta paralela a la recta rr y que pasa por el punto PP.1,5 pts
b
Hallar el ángulo que forma la recta rr y el plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3Geometría
En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes:r:{3x+2y−z=12x−y+z+4=0;s:{x=3+λy=λz=1+λr: \begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + z + 4 = 0 \end{cases}; \quad s: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}
a
Estudiar la posición relativa de las rectas rr y ss.1,5 pts
b
Encontrar el plano π\pi, paralelo a la recta ss y que contiene a la recta rr.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad
En un avión de pasajeros se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, 0,960{,}96, 0,980{,}98 y 0,990{,}99.
a
Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos.0,5 pts
b
Calcular la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente.0,75 pts
c
Calcular la probabilidad de que funcione algún paracaídas.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad
Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale un número par.
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área sombreada representando F(x) = P(Z ≤ x).
a
Si juega 100 veces, calcular la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones.1,25 pts
b
Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que 3/43/4. Justificar si esta afirmación es cierta o no.1,25 pts
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