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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Determine la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,2,1)P(1, 2, 1) y es paralelo a las rectas:
Datos
  • r1:{x+y−2z=02x−y−z=0r_1: \begin{cases} x + y - 2z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}
  • r2:{−x−y+z+1=0y+z−2=0r_2: \begin{cases} -x - y + z + 1 = 0 \\ y + z - 2 = 0 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Considere la matriz A=(m0m0m4−13m)A = \begin{pmatrix} m & 0 & m \\ 0 & m & 4 \\ -1 & 3 & m \end{pmatrix}
a
Determine para qué valores del parámetro mm la matriz no tiene inversa.5 pts
b
Calcule, si es posible, la matriz inversa de AA para m=1m = 1.4 pts
c
Si BB es la matriz inversa de AA y det⁡(A)=5\det(A) = 5, ¿cuánto vale det⁡(B)\det(B), el determinante de BB?1 pt
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Demuestre que la función polinómica f(x)=x3−3x+2f(x) = x^3 - 3x + \sqrt{2} no puede tener dos raíces en el intervalo [0,1][0, 1]. ¿Cuántas raíces tiene en [0,1][0, 1]?
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Calcule el área de la región limitada por las parábolas y2=4xy^2 = 4x y x2=4yx^2 = 4y. Haga un dibujo aproximado de la figura.
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Considere la matriz A=(100x0x0x10x001xx)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & x & 0 & x \\ 1 & 0 & x & 0 \\ 0 & 1 & x & x \end{pmatrix}
a
Resuelva la ecuación det⁡(A)=0\det(A) = 0.8 pts
b
¿En qué casos admite inversa la matriz AA?2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Obtenga el plano que pasa por el punto P(3,2,7)P(3, 2, 7) y por la intersección de los planos:
Datos
  • π1:x−y+z−4=0\pi_1: x - y + z - 4 = 0
  • π2:x+y−z+7=0\pi_2: x + y - z + 7 = 0
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considere la función f(x)=ke−x1+x2f(x) = \frac{k e^{-x}}{1 + x^2}
a
Determine el valor de kk para que la pendiente de la recta tangent a la función en x=0x = 0 tome el valor 3.6 pts
b
Dado el valor de kk calculado en el apartado a), estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Calcule la integral ∫ln⁡(x+1) dx\int \ln(x + 1) \, dx.
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