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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2020Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2020

9 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: CADA ESTUDIANTE DEBERÁ ESCOGER TRES PROBLEMAS Y UNA CUESTIÓN Y DESARROLLARLOS COMPLETOS. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada problema se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. Cada cuestión se puntuará sobre un máximo de 1 punto. Salvo que se especifique lo contrario, los apartados que figuran en los distintos problemas son equipuntuables. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de los tres problemas y la cuestión realizados. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados.

Ejercicio 1 · Opción Cuestiones

1Opción Cuestiones
1 punto
Cuestiones
¿Es posible que una matriz 4×24 \times 2 coincida con su inversa? ¿Y con su traspuesta?
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Ejercicio 1 · Opción Problemas

1Opción Problemas
3 puntos
Problemas
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro aa:{x+2y+z=0−3x+2y−5z=2x+2y−az=−1\begin{cases} x + 2y + z = 0 \\ -3x + 2y - 5z = 2 \\ x + 2y - az = -1 \end{cases}
a
Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de aa.2 pts
b
Resolver el sistema para a=−2a = -2.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción Cuestiones

2Opción Cuestiones
1 punto
Cuestiones
Representar gráficamente la función f(x)={x+2si x<23si x=24−xsi x>2f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 2 \\ 3 & \text{si } x = 2 \\ 4 - x & \text{si } x > 2 \end{cases}
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Ejercicio 2 · Opción Problemas

2Opción Problemas
3 puntos
Problemas
Una empresa utiliza 4 horas de trabajo de electrónica y 2 horas de trabajo de montaje por cada televisor LED que fabrica, y 3 horas de trabajo de electrónica y 1 hora de trabajo de montaje por cada televisor QLED. La empresa dispone de un máximo de 2400 horas de trabajo de electrónica y un máximo de 1000 horas de trabajo de montaje. Para satisfacer la demanda, la empresa debe fabricar al menos 200 televisores QLED. El beneficio obtenido en cada televisor LED es de 70 € y en cada televisor QLED es de 50 €. Utilizar técnicas de programación lineal para determinar el número de televisores de cada tipo que la empresa debe fabricar para que el beneficio sea máximo, así como ese beneficio máximo.
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Ejercicio 3 · Opción Cuestiones

3Opción Cuestiones
1 punto
Cuestiones
Se lanza una moneda 33 veces. Calcular la probabilidad de que se obtenga al menos una cruz.
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Ejercicio 3 · Opción Problemas

3Opción Problemas
3 puntos
Problemas
Dada la función:f(x)={x2−3x+2x≤33x−2mx>3f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & x \leq 3 \\ 3x - 2m & x > 3 \end{cases}
a
Hallar el valor de mm para que la función sea continua en todos los números reales.1,5 pts
b
Para m=−1m = -1, calcular el área limitada por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje OXOX en el intervalo [5,7][5, 7].1,5 pts
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Problemas
La temperatura adecuada para el desarrollo vegetativo en el cultivo de tomates no debe exceder los 2323 grados Celsius (∘C^{\circ}\text{C}) y en ningún caso debe bajar de 7∘C7^{\circ}\text{C}. La siguiente función expresa la temperatura, en grados Celsius, el día 14 de agosto en una zona de cultivo:T(x)=−114x2+2x+10T(x) = \frac{-1}{14}x^2 + 2x + 10donde x∈[0,24]x \in [0, 24] es la hora del día.
a
Determinar a qué hora de ese día se alcanza la temperatura máxima y si ésta supera los 23∘C23^{\circ}\text{C}.1,5 pts
b
¿La zona de cultivo tuvo una temperatura inferior a los 7∘C7^{\circ}\text{C} el 14 de agosto?1,5 pts
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Problemas
El 30%30\% de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70%70\% son mujeres. Se sabe que el 20%20\% de los hombres recibieron un crédito inferior a 60006000 € mientras que el 72%72\% de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad.
a
Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 60006000 €?1,5 pts
b
Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 60006000 €, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?1,5 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Problemas
Las pruebas realizadas de un nuevo modelo de teléfono móvil aseguran que la ley de probabilidad de la vida útil del teléfono sin averías (en meses) es normal de media 3232 meses y desviación típica 12,512{,}5 meses. La campaña de lanzamiento del nuevo modelo ofrece la sustitución gratuita del móvil por cualquier avería aparecida en los primeros 44 meses.
a
Calcular la probabilidad de que haya que sustituir un móvil adquirido durante la campaña de lanzamiento.1,5 pts
b
Si una tienda vende 6464 teléfonos móviles del nuevo modelo el primer día de campaña, determinar la probabilidad de que el tiempo medio sin averías de esos móviles sea superior a 3636 meses.1,5 pts
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