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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2010OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es: V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=2−x2f(x) = 2 - x^2 y g(x)=∣x∣g(x) = |x|.
a
Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.1 pt
b
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ff y gg.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la matrizA=(5−422−11−44−1)A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}
a
Comprueba que se verifica 2A−A2=I2A - A^2 = I.1,25 pts
b
Calcula A−1A^{-1}. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 6x+3y+2z=66x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea ff la función definida como f(x)=x3x2−1f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} para x≠±1x \neq \pm 1.
a
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.1 pt
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.0,75 pts
c
Esboza la gráfica de ff.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R} definida por f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x, donde ln⁡\ln es la función logaritmo neperiano, se pide:
a
Comprueba que la recta de ecuación y=−ex+1+e2y = -ex + 1 + e^2 es la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=ex = e.0,75 pts
b
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de ff, el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a).1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{(m+2)x−y−z=1−x−y+z=−1x+my−z=m\begin{cases} (m + 2)x - y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \\ x + my - z = m \end{cases}
a
Discútelo según los valores de mm.1,75 pts
b
Resuélvelo para el caso m=1m = 1.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(−1,2,0)B(-1, 2, 0), C(2,1,2)C(2, 1, 2) y D(t,−2,2)D(t, -2, 2).
a
Determina el valor de tt para que A,B,CA, B, C y DD estén en el mismo plano.1,25 pts
b
Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por AA y BB, que contenga al punto CC.1,25 pts
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