Matemáticas II · Andalucía 2010

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$).

Sea $f$ la función definida como $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$ para $x \neq \pm 1$.

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = 2 - x^2$ y $g(x) = |x|$.

Dada la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln x$, donde $\ln$ es la función logaritmo neperiano, se pide:

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} (m + 2)x - y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \\ x + my - z = m \end{cases}$$

Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano $6x + 3y + 2z = 6$ con los ejes de coordenadas.

Sean los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(-1, 2, 0)$, $C(2, 1, 2)$ y $D(t, -2, 2)$.