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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2018ExtraordinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide 8 cm8\,\text{cm} y la altura correspondiente mide 5 cm5\,\text{cm}. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo (ver figura).
Triángulo isósceles con un rectángulo inscrito en su base.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Siendo a>1a > 1, considera el rectángulo de vértices A(1,0)A(1, 0), B(1,1)B(1, 1), C(a,1)C(a, 1) y D(a,0)D(a, 0). La gráfica de la función ff definida por f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^2} para x≠0x \neq 0 divide al rectángulo anterior en dos recintos.
a
Haz un esbozo de la gráfica de ff y del rectángulo descrito.0,5 pts
b
Determina el valor de aa para el que los dos recintos descritos tienen igual área.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(200121103)yX=(xyz) A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a
Discute el sistema dado por AX=mXAX = mX según los valores del parámetro mm.1,5 pts
b
Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.0,5 pts
c
Para m=3m = 3 resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que x+y+z=3x + y + z = 3.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se sabe que los puntos A(−1,2,6)A(-1, 2, 6) y B(1,4,−2)B(1, 4, -2) son simétricos respecto de un plano π\pi.
a
Calcula la distancia de AA a π\pi.0,75 pts
b
Determina la ecuación general del plano π\pi.1,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=x+xe−xf(x) = x + xe^{-x}.
a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff que es paralela a la recta x−y+1=0x - y + 1 = 0.1,25 pts
b
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫0ln⁡(2)11+ex dx\int_{0}^{\ln(2)} \frac{1}{1 + e^x} \, dx donde ln⁡\ln denota logaritmo neperiano (sugerencia t=ext = e^x).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{x−z=mmy+3z=14x+y−mz=5 \begin{cases} x - z = m \\ my + 3z = 1 \\ 4x + y - mz = 5 \end{cases}
a
Discútelo según los valores del parámetro mm.1,5 pts
b
Para m=1m = 1 resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea x=zx = z.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectas rr y ss dadas porr≡{x=2ty=1z=0ys≡{x+y=2z=2 r \equiv \begin{cases} x = 2t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 2 \end{cases}
a
Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a rr y a ss.1,75 pts
b
Calcula la distancia entre las rectas dadas.0,75 pts
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