Matemáticas II · Andalucía 2018

Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide $8\,\text{cm}$ y la altura correspondiente mide $5\,\text{cm}$. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo (ver figura).

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x + xe^{-x}$.

Siendo $a > 1$, considera el rectángulo de vértices $A(1, 0)$, $B(1, 1)$, $C(a, 1)$ y $D(a, 0)$. La gráfica de la función $f$ definida por $f(x) = \frac{1}{x^2}$ para $x \neq 0$ divide al rectángulo anterior en dos recintos.

Calcula $\int_{0}^{\ln(2)} \frac{1}{1 + e^x} \, dx$ donde $\ln$ denota logaritmo neperiano (sugerencia $t = e^x$).

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x - z = m \\ my + 3z = 1 \\ 4x + y - mz = 5 \end{cases}$$

Se sabe que los puntos $A(-1, 2, 6)$ y $B(1, 4, -2)$ son simétricos respecto de un plano $\pi$.

Considera las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x = 2t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 2 \end{cases}$$