Matemáticas II · Navarra 2024

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} (2 - a) x - a y + 2 z = - 4 \\ (a - 2) x + (a + 1) y = 5 \\ y + (a^2 - a) z = 3 - a \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Halla el rango de la matriz $M$ según el valor de $m$, siendo: $$M = \begin{pmatrix} m - 1 & 3 & 0 \\ - 1 & m & 1 \\ m & - 1 & - 1 \\ - 2 & m + 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Los puntos $A(4, -2, -3)$, $B(2, -1, 1)$ y $C(0, -3, -1)$ son vértices de un rombo.

Queremos construir un tetraedro de volumen $3\,u^3$, siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano $\pi \equiv 2x - y - 2z - 2 = 0$ con los ejes de coordenadas.

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

Halla los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función $f(x) = e^{-x^2}$. Representa, de manera aproximada, la gráfica de $f$.

Se considera la función $f(x) = x^2 + e^{\frac{x}{4}}$

Calcula los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $$f(x) = \frac{9}{x} \quad \text{y} \quad g(x) = 10x - x^3$$ Tomando los dos puntos de corte con $x > 0$, calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abscisa positiva.