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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 8 preguntas optativas del mesmo valor, de las que el/la estudiantes deben elegir un máximo de 4 preguntas, cualesquiera de ellas. Todas las respectas deben estar debridamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 horas.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real mm y resuélvelo en los casos en que sea compatible:{(2−a)x−ay+2z=−4(a−2)x+(a+1)y=5y+(a2−a)z=3−a\begin{cases} (2 - a) x - a y + 2 z = - 4 \\ (a - 2) x + (a + 1) y = 5 \\ y + (a^2 - a) z = 3 - a \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Halla el rango de la matriz MM según el valor de mm, siendo:M=(m−130−1m1m−1−1−2m+12)M = \begin{pmatrix} m - 1 & 3 & 0 \\ - 1 & m & 1 \\ m & - 1 & - 1 \\ - 2 & m + 1 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Los puntos A(4,−2,−3)A(4, -2, -3), B(2,−1,1)B(2, -1, 1) y C(0,−3,−1)C(0, -3, -1) son vértices de un rombo.
a
Encuentra el cuarto vértice del rombo.1,75 pts
b
Calcula el área del rombo.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Queremos construir un tetraedro de volumen 3 u33\,u^3, siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano π≡2x−y−2z−2=0\pi \equiv 2x - y - 2z - 2 = 0 con los ejes de coordenadas.
a
¿A qué distancia de π\pi tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro?1,5 pts
b
Encuentra dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a
f(x)=(1x)cos⁡xf(x) = \left( \frac{1}{x} \right)^{\cos x}1,25 pts
b
g(x)=x2+4x+1(x+2)2g(x) = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Halla los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Representa, de manera aproximada, la gráfica de ff.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=x2+ex4f(x) = x^2 + e^{\frac{x}{4}}
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [−2,4][-2, 4].1,25 pts
b
Comprueba que existen dos valores reales α\alpha y β\beta en (−2,4)(-2, 4) tales que f(α)=2=f(β)f(\alpha) = 2 = f(\beta). Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Calcula los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:f(x)=9xyg(x)=10x−x3f(x) = \frac{9}{x} \quad \text{y} \quad g(x) = 10x - x^3Tomando los dos puntos de corte con x>0x > 0, calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abscisa positiva.
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