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la cuevadel empollón
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Matemáticas CCSS · Andalucía 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(210−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, B=(1−120)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, C=(−241−1)C = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} y D=(101010)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
a
Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones: A⋅D+B⋅CDt⋅B−A2A \cdot D + B \cdot C \quad D^t \cdot B - A^21 pt
b
Halle la matriz XX que verifica la ecuación matricial A⋅X=B−CA \cdot X = B - C.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x3−12x+1f(x) = x^3 - 12x + 1
a
Estudie su monotonía y determine sus extremos relativos.1,5 pts
b
Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
De los sucesos AA y BB se sabe que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(B/A)=0,8P(B/A) = 0{,}8 y P(B/AC)=0,1P(B/A^C) = 0{,}1
a
Calcule las probabilidades P(B)P(B), P(A∩B)P(A \cap B) y P(A∪B)P(A \cup B)1,8 pts
b
¿Son los sucesos AA y BB independientes?0,7 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se desea estimar la proporción de bares y restaurantes que en el camino de Santiago ofertan el menú del peregrino con un precio máximo de 1212 €. Para ello se eligen aleatoriamente 120120 establecimientos que ofrecen este menú, de los que 8080 tienen un precio máximo de 1212 €.
a
Con un nivel de confianza del 92%92\%, obtenga el intervalo de confianza para proporción de establecimientos que tienen un precio máximo de 1212 €.1,6 pts
b
Si aumentamos el nivel de confianza al 99%99\%, ¿qué efecto se produce en el error de estimación?0,4 pts
c
¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%99\%, el error de la estimación no sea superior a 0,040{,}04?0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea el siguiente sistema de inecuaciones: x+2y≤11x≥2y−53x+y≤18x≥0y≥0x + 2y \leq 11 \quad x \geq 2y - 5 \quad 3x + y \leq 18 \quad x \geq 0 \quad y \geq 0
a
Dibuje la región que definen y calcule sus vértices.1,5 pts
b
¿Pertenece el punto (5,5,2)(5{,}5, 2) a la región anterior?0,5 pts
c
Calcule los puntos de esa región en los que la función F(x,y)=2x+3yF(x, y) = 2x + 3y alcanza los valores máximo y mínimo y determine dichos valores.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcule los valores de los parámetros aa y bb para que la gráfica de la función f(x)=x3+ax2+bf(x) = x^3 + ax^2 + b presente un extremo relativo en el punto (2,6)(2, 6).1,5 pts
b
Para a=1a = 1 y b=1b = 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El 10%10\% de las personas que acuden a un servicio de urgencias lo hace por problemas respiratorios, de éstos el 80%80\% son fumadores, mientras que de los que acuden por otros problemas solo el 5%5\% son fumadores. Se elige, al azar, una persona de las que acuden al servicio de urgencias.
a
¿Cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas respiratorios y no sea fumador?1 pt
b
Si la persona elegida es fumadora, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas que no son respiratorios?1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El precio de un determinado producto se distribuye según una ley Normal de desviación típica 55 € y media desconocida. Se toman 1010 comercios al azar y se observa en ellos el precio de este producto, resultando los siguientes valores en euros: 9610897112991061051009899\begin{array}{c c c c c c c c c c} 96 & 108 & 97 & 112 & 99 & 106 & 105 & 100 & 98 & 99 \end{array}
a
¿Cuál es la distribución del precio medio del producto en las muestras de tamaño 1010?0,5 pts
b
Determine un intervalo de confianza, al 97%97\%, para la media poblacional.1 pt
c
Con el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra de esa población para que el error cometido sea menor que 22?1 pt
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