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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2018

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sea la matriz A que depende del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} A=(011a0a−2a0)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ a & 0 & a \\ -2 & a & 0 \end{pmatrix}
a)1,5 pts
Determine el rango de la matriz A según los valores del parámetro a.
b)1 pts
Para a=1a = 1, resuelva el sistema A(xyz)=(111)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Considere las matrices A=(1012220−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} y B=(101111011)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a)1 pts
Calcule la matriz XX tal que X=A2+B2−2ABX = A^2 + B^2 - 2AB.
b)1,5 pts
Halle la inversa de la matriz AA.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sean los puntos A=(2,0,1)A = (2, 0, 1), B=(2,0,3)B = (2, 0, 3) y la recta rr dada por el punto C=(1,0,2)C = (1, 0, 2) y el vector v⃗=(−1,0,0)\vec{v} = (-1, 0, 0). Determine los puntos PP de la recta rr para los cuales el área del triángulo ABP^\widehat{ABP} es 22.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sean las rectas r=x−33=y−5−1=z−24r = \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 5}{-1} = \frac{z - 2}{4} y s={x−y−z=22x+2y−z=4s = \begin{cases} x - y - z = 2 \\ 2x + 2y - z = 4 \end{cases}
a)1 pts
Estudie la posición relativa de dichas rectas.
b)1,5 pts
Halle la distancia entre ambas rectas.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3,5 puntos
Sea la función f(x)=∣x∣={xsi x≥0,−xsi x<0.f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}
a)1 pts
Estudie la continuidad y derivabilidad de f(x)f(x).
b)1 pts
Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de f(x)f(x) y justifique si en el punto x=0x = 0 la función f(x)f(x) tiene un mínimo relativo.
c)1,5 pts
Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones f(x)=∣x∣f(x) = |x| y g(x)=2−x2g(x) = 2 - x^2 y calcule su área.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3,5 puntos
Sea la función f(x)=xln⁡(x)f(x) = x \ln(x) para x>0x > 0.
a)1 pts
¿Se puede definir f(0)f(0) para que f(x)f(x) sea continua por la derecha de x=0x = 0?
b)0,5 pts
Estudie los máximos y mínimos relativos de f(x)f(x) para x>0x > 0.
c)0,5 pts
Halle, si existe, la recta tangente a f(x)f(x) en x=1x = 1.
d)1,5 pts
Calcule una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=xln⁡(x)f(x) = x \ln(x).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
En un centro comercial el 35%35\% de los clientes utiliza carro. El 70%70\% de los que utilizan carro son hombres y el 40%40\% de los que no utilizan carro son mujeres.
a)0,75 pts
Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer.
b)0,75 pts
Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, qué probabilidad hay de que utilice carro.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
Se estima que en una partida de bombillas el 10%10\% son defectuosas. Si se eligen al azar 66 bombillas de esta partida, calcule:
a)0,5 pts
la probabilidad de que ninguna sea defectuosa.
b)0,5 pts
la probabilidad de obtener más de 22 defectuosas.
c)0,5 pts
la media y la desviación típica de la distribución.
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