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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2018

4 ejercicios

Instrucciones

La prueba consta de dos opciones A y B de las cuales el alumno deberá elegir una. Cada opción consta de 4 ejercicios. En el caso de realizar ejercicios de opciones diferentes, se considerará como elegida la correspondiente al primer ejercicio presentado por el alumno. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la matriz A que depende del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}A=(011a0a−2a0)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ a & 0 & a \\ -2 & a & 0 \end{pmatrix}
a
Determine el rango de la matriz A según los valores del parámetro a.1,5 pts
b
Para a=1a = 1, resuelva el sistema A(xyz)=(111)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean los puntos A=(2,0,1)A = (2, 0, 1), B=(2,0,3)B = (2, 0, 3) y la recta rr dada por el punto C=(1,0,2)C = (1, 0, 2) y el vector v⃗=(−1,0,0)\vec{v} = (-1, 0, 0). Determine los puntos PP de la recta rr para los cuales el área del triángulo ABP^\widehat{ABP} es 22.
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Ejercicio 3

3
3,5 puntos
Sea la funciónf(x)=∣x∣={xsi x≥0,−xsi x<0.f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}
a
Estudie la continuidad y derivabilidad de f(x)f(x).1 pt
b
Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de f(x)f(x) y justifique si en el punto x=0x = 0 la función f(x)f(x) tiene un mínimo relativo.1 pt
c
Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones f(x)=∣x∣f(x) = |x| y g(x)=2−x2g(x) = 2 - x^2 y calcule su área.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
En un centro comercial el 35%35\% de los clientes utiliza carro. El 70%70\% de los que utilizan carro son hombres y el 40%40\% de los que no utilizan carro son mujeres.
a
Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer.0,75 pts
b
Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, qué probabilidad hay de que utilice carro.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las matrices A=(1012220−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} y B=(101111011)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcule la matriz XX tal que X=A2+B2−2ABX = A^2 + B^2 - 2AB.1 pt
b
Halle la inversa de la matriz AA.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean las rectas r=x−33=y−5−1=z−24r = \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 5}{-1} = \frac{z - 2}{4} y s={x−y−z=22x+2y−z=4s = \begin{cases} x - y - z = 2 \\ 2x + 2y - z = 4 \end{cases}
a
Estudie la posición relativa de dichas rectas.1 pt
b
Halle la distancia entre ambas rectas.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3,5 puntos
Sea la función f(x)=xln⁡(x)f(x) = x \ln(x) para x>0x > 0.
a
¿Se puede definir f(0)f(0) para que f(x)f(x) sea continua por la derecha de x=0x = 0?1 pt
b
Estudie los máximos y mínimos relativos de f(x)f(x) para x>0x > 0.0,5 pts
c
Halle, si existe, la recta tangente a f(x)f(x) en x=1x = 1.0,5 pts
d
Calcule una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=xln⁡(x)f(x) = x \ln(x).1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Se estima que en una partida de bombillas el 10%10\% son defectuosas. Si se eligen al azar 66 bombillas de esta partida, calcule:
a
la probabilidad de que ninguna sea defectuosa.0,5 pts
b
la probabilidad de obtener más de 22 defectuosas.0,5 pts
c
la media y la desviación típica de la distribución.0,5 pts
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