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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2025OrdinariaSuplente 2

Matemáticas II · Andalucía 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno. d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados. h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque obligatorio
Sea f:[0,2]→Rf: [0, 2] \rightarrow \mathbb{R} la función definida porf(x)={1−exsi 0≤x<12x−1−esi 1≤x≤2f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 2x - 1 - e & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \end{cases}
a
Estudia la derivabilidad de ff.1 pt
b
Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque.

Calcula ∫324xx4−6x2+10dx\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=x2−3t = x^2 - 3).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque.

Sean las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas por f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x y g(x)=−x2+1g(x) = -x^2 + 1.
a
Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de ff y gg. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.1 pt
b
Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de ff y gg.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque.

Considera la matriz A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}
a
Comprueba que A3+I=OA^3 + I = O, siendo II la matriz identidad y OO la matriz nula. Calcula A−1A^{-1}.1,5 pts
b
Calcula A2025A^{2025}.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque.

Sabiendo que ∣abcxyzuvw∣=1\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = 1, calcula razonadamente:
a
∣a+xb+yc+zabc2a+u2b+v2c+w∣\begin{vmatrix} a + x & b + y & c + z \\ a & b & c \\ 2a + u & 2b + v & 2c + w \end{vmatrix}1,5 pts
b
∣zcwxauybv∣\begin{vmatrix} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{vmatrix}1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque.

Considera el plano π≡x+y+z+1=0\pi \equiv x + y + z + 1 = 0 y los puntos A(1,2,0)A(1, 2, 0) y B(3,1,0)B(3, 1, 0).
a
Calcula el punto simétrico del punto AA con respecto al plano π\pi.1,5 pts
b
Halla el plano que contiene a los puntos AA y BB y es perpendicular al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque.

Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de 29%29\%, 51%51\% y 20%20\%. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes 18%18\%, 31%31\% y 11%11\%, respectivamente.
a
¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?0,75 pts
b
Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?1,75 pts
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