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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2023

8 ejercicios

Instrucciones

Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones y no es necesario hacerlo en el mismo orden en que están enunciadas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 cuestiones, sólo se corregirán las cuatro primeras, en el orden que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Una papelería vende bolígrafos, rotuladores y libretas. Una libreta cuesta el doble que un bolígrafo y un rotulador juntos, un bolígrafo cuesta la sexta parte que una libreta, y un rotulador cuesta el doble que un bolígrafo.
a
Denotando por xx el precio de cada bolígrafo, por yy el de cada rotulador y por zz el de cada libreta, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.0,75 pts
b
Justifique que, con estos datos, no se puede conocer el precio de cada uno de los tres productos.0,25 pts
c
Calcule el conjunto de todas las posibles soluciones del sistema.1 pt
d
Sabiendo que una libreta cuesta 18 euros, calcule el precio de cada producto.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las siguientes matrices:A=(aa−1a),B=(−1−423)yC=(5−6−23)A = \begin{pmatrix} a & a \\ -1 & a \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
a
Determine para qué valores del parámetro aa la matriz AA es regular (o invertible).0,5 pts
b
Se sabe que cuando a=−2a = -2 la matriz AA es regular (o invertible). Para ese valor de aa: Calcule la inversa de AA y compruebe que A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I, con II la matriz identidad de orden 2.1 pt
c
Resuelva la ecuación matricial AXA−1+B=C⊤A X A^{-1} + B = C^{\top}, donde C⊤C^{\top} denota la matriz traspuesta de CC.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→0cos⁡(2x)−1xsen⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x \operatorname{sen}(x)}1,25 pts
b
lim⁡x→09+x−9−x3x\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x}}{3x}1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x21+x2f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}, definida para todo valor de x∈Rx \in \mathbb{R}.
a
Calcule lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x)0,5 pts
b
Calcule la derivada de f(x)f(x) y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función f(x)f(x).0,5 pts
c
Calcule la integral indefinida de la función f(x)f(x).1 pt
d
Determine la primitiva de f(x)f(x) que pasa por el punto (1,1)(1, 1).0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere las siguientes rectas:r:{x−2y=5y+z=0ys:x−82=y+31=z−3−1r: \begin{cases} x - 2y = 5 \\ y + z = 0 \end{cases} \quad y \quad s: \frac{x - 8}{2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 3}{-1}
a
Compruebe que ambas rectas son paralelas.1 pt
b
Compruebe que el punto P=(7,1,1)P = (7, 1, 1) está en la recta rr y calcule su proyección ortogonal sobre la recta ss.1 pt
c
Calcule la distancia entre ambas rectas.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere el plano π\pi de ecuación π:3x−y−2z=5\pi: 3x - y - 2z = 5 y la recta rr dada porr:x−a1=y−3+a1=z1r: \frac{x - a}{1} = \frac{y - 3 + a}{1} = \frac{z}{1}
a
Estudie la posición relativa del plano π\pi y de la recta rr en función del parámetro aa.1,25 pts
b
Se sabe que cuando a=0a = 0 la recta rr es paralela al plano π\pi. Para ese valor de aa: Calcule la distancia de la recta rr al plano π\pi.0,75 pts
c
Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta rr y es paralelo al plano π\pi.0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna A contiene 3 bolas verdes, 3 bolas rojas y 4 bolas negras, y la urna B contiene 1 bola verde, 3 bolas rojas y 5 bolas negras. Se saca al azar una bola de la urna A y se mete en la urna B. A continuación, se saca al azar una bola de la urna B. Calcule:
a
La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra, sabiendo que la bola que se sacó de la urna A era verde.0,5 pts
b
La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra.1 pt
c
La probabilidad de que la bola que se sacó de la urna A fuera verde, sabiendo que la bola se ha sacado de la urna B ha sido negra.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Se lanza una moneda al aire 100 veces y se anota el resultado del lanzamiento, que puede ser cara o cruz con la misma probabilidad. Determine:
Datos
  • En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades
a
Qué distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale cara.0,5 pts
b
Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.0,5 pts
c
Cuál es la probabilidad de que salga cara 60 veces.0,5 pts
d
Cuál es la probabilidad de que el número de veces que sale cara sea mayor o igual que 55.1 pt
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