Matemáticas II · Galicia 2024

Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}$, dé respuesta a los dos apartados siguientes:

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $$\begin{cases} 2x + y + z = m \\ x - y + 2z = 2m \\ mx + 3z = m \end{cases}$$

Dada la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + bx - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{k - x e^x}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$ se pide responder a las siguientes cuestiones:

Determine el valor del número positivo $a$ que hace que el área de la región encerrada por la recta $y = -2x$ y la parábola $y = ax^2 + 4x$ sea igual a 9 unidades cuadradas.

Considérense el plano $\pi: x + 2y - 2z = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A(2, 1, 2)$ y $B(0, 1, 1)$. Se pide:

Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A(-1, 3, -5)$ y $B(1, 2, -5)$ y $\pi$ el plano que pasa por el punto $C(5, 0, 1)$ y es perpendicular a $r$. Se piden las ecuaciones paramétricas de $r$, la ecuación implícita o general de $\pi$ y el punto de corte de $r$ con $\pi$.

En una determinada colonia de cormoranes, cada huevo que se pone tiene un $13\%$ de probabilidades de ser infértil. Si se observa la puesta de 7 huevos, calcule la probabilidad de que entre ellos haya por lo menos 2 infértiles.

La durabilidad de un determinado aparato electrónico sigue una distribución normal de media $20000$ horas y desviación típica $2500$ horas.