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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que pueda responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. Si responde más preguntas de las permitidas, solo serán corregidas las 5 primeras respondidas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Si A=(11xy)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}, dé respuesta a los dos apartados siguientes:
a
Calcule los valores de xx e yy que hacen que AA conmute con todas las matrices antisimétricas XX de orden 2, es decir, que hacen que se cumpla la igualdad AX=XAAX = XA para toda matriz antisimétrica XX de orden 2.
b
Si x=−1x = -1 e y=1y = 1, calcule la matriz MM que satisface la igualdad 2M=A−1−AM2M = A^{-1} - AM.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Discuta, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema:{2x+y+z=mx−y+2z=2mmx+3z=m\begin{cases} 2x + y + z = m \\ x - y + 2z = 2m \\ mx + 3z = m \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)={x2+bx−1si x≤0k−xexxsi x>0f(x) = \begin{cases} x^2 + bx - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{k - x e^x}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases} se pide responder a las siguientes cuestiones:
a
¿Cuál es el valor de kk que hace que ff sea continua en x=0x = 0 para cualquier valor de bb?
b
¿Para qué valores de bb y kk es ff derivable en x=0x = 0?
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Determine el valor del número positivo aa que hace que el área de la región encerrada por la recta y=−2xy = -2x y la parábola y=ax2+4xy = ax^2 + 4x sea igual a 9 unidades cuadradas.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Considérense el plano π:x+2y−2z=0\pi: x + 2y - 2z = 0 y la recta rr que pasa por los puntos A(2,1,2)A(2, 1, 2) y B(0,1,1)B(0, 1, 1). Se pide:
a
Estudiar la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi.
b
Obtener la ecuación implícita o general del plano que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Sean rr la recta que pasa por los puntos A(−1,3,−5)A(-1, 3, -5) y B(1,2,−5)B(1, 2, -5) y π\pi el plano que pasa por el punto C(5,0,1)C(5, 0, 1) y es perpendicular a rr. Se piden las ecuaciones paramétricas de rr, la ecuación implícita o general de π\pi y el punto de corte de rr con π\pi.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
En una determinada colonia de cormoranes, cada huevo que se pone tiene un 13%13\% de probabilidades de ser infértil. Si se observa la puesta de 7 huevos, calcule la probabilidad de que entre ellos haya por lo menos 2 infértiles.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
La durabilidad de un determinado aparato electrónico sigue una distribución normal de media 2000020000 horas y desviación típica 25002500 horas.
a
Si elegimos al azar uno de estos aparatos, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 1700017000 horas?
b
¿Cuál es la durabilidad, en horas, excedida por el 98,5%98{,}5\% de estos aparatos?
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