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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2016

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una delas dos opciones, Ao , y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
Dada la función f(x)={x−x2si 0≤x≤1(x−1)ln⁡2(x)si 1<x≤2f(x) = \begin{cases} x - x^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ (x - 1) \ln^2(x) & \text{si } 1 < x \leq 2 \end{cases}
a
Estudiar la continuidad y la derivabilidad de f(x)f(x) en x=1x = 1
b
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto de abscisa x=1/2x = 1/2
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Ejercicio 2

2
Calcular las siguientes integrales:
a
∫5dx(6x+4)2+2\int \frac{5 dx}{(6x + 4)^2 + 2}
b
∫(2x−3)23xdx\int \frac{(2x - 3)^2}{3\sqrt{x}} dx
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Ejercicio 3

3
Resolver el siguiente sistema matricial:{2P+Q=(14−120104−2)P−Q=(2−1−51920−1−1)\begin{cases} 2P + Q = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -2 \end{pmatrix} \\ P - Q = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -5 \\ 1 & 9 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{cases}
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Ejercicio 4

4
Dada la recta r≡{x+y+z=1x−2y−2z=0r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - 2y - 2z = 0 \end{cases} y el plano π:2x+y+mz−3=0\pi : 2x + y + mz - 3 = 0
a
Determinar el valor del parámetro mm para que la recta y el plano sean secantes.
b
Determinar el valor del parámetro mm para que la recta y el plano sean paralelos.
c
¿Cuál es la posición relativa de la recta rr del enunciado y un plano α\alpha de ecuación α:2x+y+z−53=0\alpha : 2x + y + z - \frac{5}{3} = 0?
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Ejercicio 1

1
Determinar el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad, las asíntotas, los puntos de corte con los ejes, los extremos y los puntos de inflexión de la función f(x)=(x−2)2xf(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}
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Ejercicio 2

2
a
Dibujar las gráficas aproximadas de f(x)=x2+4x+5f(x) = x^2 + 4x + 5 y g(x)=5g(x) = 5, señalando los puntos de corte entre ambas curvas.
b
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a)
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Ejercicio 3

3
Dada la matriz A=(1010m021m2−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 - 1 \end{pmatrix}
a
Estudiar el rango de la matriz AA según los diferentes valores del parámetro mm
b
Calcular la matriz inversa A−1A^{-1} para m=1m = 1
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Ejercicio 4

4
Dadas las rectas r1≡x−1=y−1−1=z+22r_1 \equiv x - 1 = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 2}{2} y r2≡x+54=y−3−2=z+43r_2 \equiv \frac{x + 5}{4} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z + 4}{3}, se pide:
a
Demostrar que se encuentran en un mismo plano.
b
Hallar la ecuación del plano que determinan.
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