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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2017

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determinar los valores de aa y bb para que la función ff definida de la formaf(x)={x2+4x+asi x≤2−x2+bxsi x>2 f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + a & \text{si } x \leq 2 \\ -x^2 + bx & \text{si } x > 2 \end{cases} sea derivable en todo x∈Rx \in \mathbb{R}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular el área de la región sombreada en la siguiente figura, siendo las ecuaciones de las funciones que aparecen en la gráfica f(x)=x3+1f(x) = x^3 + 1 y g(x)=x+1g(x) = x + 1
Gráfica de las funciones f(x) y g(x) mostrando dos regiones sombreadas entre sus intersecciones.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea MM la matriz M=(0117)M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales{2X+3Y=M3X−2Y=M−1 \begin{cases} 2X + 3Y = M \\ 3X - 2Y = M^{-1} \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dado el plano π:2x+y−z=0\pi : 2x + y - z = 0 y la recta r:{x−y+z=32x+y=1r : \begin{cases} x - y + z = 3 \\ 2x + y = 1 \end{cases} se pide
a
Escribir la ecuación de la recta rr en forma continua.1,25 pts
b
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,2,1)P(1, 2, 1), es paralelo a la recta rr y perpendicular al plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcular los siguientes límites
a
lim⁡x→0ex+e−x−2cos⁡xsen⁡(x2)\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2 \cos x}{\operatorname{sen}(x^2)}1,25 pts
b
lim⁡x→04+x−2−x4x2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4 + x} - 2 - \frac{x}{4}}{x^2}1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se quiere fabricar un smartphone con una pantalla LCD de 18 cm218\,\text{cm}^2. Los bordes superior e inferior han de tener 2 cm2\,\text{cm} cada uno y los bordes laterales 1 cm1\,\text{cm}. Calcular las dimensiones del teléfono para que la superficie del mismo sea mínima.
Esquema de un smartphone con pantalla central de 18 cm^2 y márgenes indicados (2 arriba/abajo, 1 a los lados).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Hallar la matriz XX que cumple la ecuación matricial A−1XA=BA^{-1}XA = B siendoA=(31−2−1)yB=(1−121)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados la recta r:x=y+1=z−11m−3mr : x = y + 1 = \frac{z - \frac{11}{m}}{\frac{-3}{m}} y el plano π:2x+y+z=9\pi : 2x + y + z = 9 se pide
a
Calcular el valor del parámetro mm para que la recta rr sea paralela al plano π\pi.1,25 pts
b
Para m=2m=2, determinar el punto de intersección de la recta rr y el plano π\pi.1,25 pts
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