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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2017

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{2x+4y+z=12x+(a2+2)y+3z=3−2x−(a2+2)y+(a−3)z=2−3\begin{cases} 2x + 4y + z = 1 \\ 2x + (a^2 + 2)y + 3z = 3 \\ -2x - (a^2 + 2)y + (a - 3)z = \sqrt{2} - 3 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Comprueba que las rectasr≡x−11=y+12=z−1−2ys≡x2=y1=z+32r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-2} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{2}se cortan perpendicularmente y halla el punto de corte, PP. Encuentra un punto R∈rR \in r y un punto S∈sS \in s de forma que P,R,SP, R, S sean vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos son de longitud 3.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a
∫dxx2−x−2\int \frac{dx}{x^2 - x - 2}1 pt
b
∫x2e2xdx\int x^2 e^{2x} dx1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Demuestra que existe α∈(0,2)\alpha \in (0, 2) tal que f′(α)=−13f'(\alpha) = -\frac{1}{3}, siendof(x)=(x+1)(x−1)cos⁡(πx2)f(x) = (x + 1)^{(x - 1) \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Encuentra la matriz XX que verifica 7A−A7=BB′X7A - A^7 = BB'X, siendoA=(10−11)yB=(20−11−10)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
A,BA, B y CC son los puntos de corte de los ejes de coordenadas con el plano π≡4x+2y+z−4=0\pi \equiv 4x + 2y + z - 4 = 0. Encuentra un punto, DD, de la recta r≡x−11=y−30=z−3−1r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{0} = \frac{z - 3}{-1} tal que A,B,CA, B, C y DD son vértices de un paralelepípedo de volumen 6u36 u^3.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Demuestra que existe α∈(0,1)\alpha \in (0, 1) tal que f′(α)=3f'(\alpha) = 3, siendof(x)=(x+1)(x+1)f(x) = (x + 1)^{(x + 1)}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=sen⁡(π2x)f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right) y g(x)=x3−4xg(x) = x^3 - 4x, encuentra los tres puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.
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