Matemáticas II · Navarra 2017

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} 2x + 4y + z = 1 \\ 2x + (a^2 + 2)y + 3z = 3 \\ -2x - (a^2 + 2)y + (a - 3)z = \sqrt{2} - 3 \end{cases}$$

Encuentra la matriz $X$ que verifica $7A - A^7 = BB'X$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Comprueba que las rectas $$r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-2} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{2}$$ se cortan perpendicularmente y halla el punto de corte, $P$. Encuentra un punto $R \in r$ y un punto $S \in s$ de forma que $P, R, S$ sean vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos son de longitud 3.

$A, B$ y $C$ son los puntos de corte de los ejes de coordenadas con el plano $\pi \equiv 4x + 2y + z - 4 = 0$. Encuentra un punto, $D$, de la recta $r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{0} = \frac{z - 3}{-1}$ tal que $A, B, C$ y $D$ son vértices de un paralelepípedo de volumen $6 u^3$.

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

Demuestra que existe $\alpha \in (0, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 3$, siendo $$f(x) = (x + 1)^{(x + 1)}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Demuestra que existe $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = -\frac{1}{3}$, siendo $$f(x) = (x + 1)^{(x - 1) \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dadas las funciones $f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ y $g(x) = x^3 - 4x$, encuentra los tres puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.