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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2021

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a SOLO CINCO ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea la funciónf(x)=xe1/x3f(x) = x e^{1/x^3}Determinar el dominio y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea ff una función continua cuya derivada viene dada de la siguiente manera:f′(x)={x+1,x<0ex,x≥0f'(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0 \end{cases}Hallar la expresión de las funciones ff y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de ff en el punto x=0x = 0.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcular el área del recinto limitado por la función f(x)=x+3(x+2)2f(x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^2}, el eje OX y las rectas x=0x = 0 y x=5x = 5.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales:{x+y+az=12x+ay=−1ax+y+z=1\begin{cases} x + y + az = 1 \\ 2x + ay = -1 \\ ax + y + z = 1 \end{cases}según el valor del parámetro real aa. Determinar la inversa de la matriz asociada al sistema para a=0a = 0.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Hallar AA y BB, matrices soluciones del sistema de ecuaciones:{3A−5B=C−A+3B=D\begin{cases} 3A - 5B = C \\ -A + 3B = D \end{cases}donde CC y DD son las matrices:C=(2−474−12),D=(2430−12)C = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}Determinar la matriz inversa de CTDC^T D, donde CTC^T es la matriz traspuesta de CC.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Sabiendo que ∣A∣=1|A| = 1, donde:A=(xyzabc111)A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}calcular el determinante de la matriz BB conB=(xyzx+1y+1z+12(x+a)2(y+b)2(z+c))B = \begin{pmatrix} x & y & z \\ x + 1 & y + 1 & z + 1 \\ 2(x + a) & 2(y + b) & 2(z + c) \end{pmatrix}Calcular ∣4B−1AT∣2|4 B^{-1} A^T|^2.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Hallar la ecuación de una recta, tal que:
a
pasa por el punto P(0,1,1)P(0, 1, 1),
b
está contenida en el plano π≡x+y+3z−4=0\pi \equiv x + y + 3z - 4 = 0,
c
es perpendicular a la recta r≡{x=z+3y=−z+4r \equiv \begin{cases} x = z + 3 \\ y = -z + 4 \end{cases}.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(2,−1,1)P(2, -1, 1) y corta perpendicularmente a la rectar≡x−22=y−12=zr \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = z
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Ejercicio 9

9
2 puntos
La duración de un cierto modelo de máquina de aire acondicionado sigue una distribución normal, con media 2020 años y desviación típica 55 años. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de la máquina por un periodo de 2525 años.
a
¿Qué porcentaje de máquinas se espera que no cumplan la garantía?
b
¿Qué proporción de máquinas tienen una duración comprendida entre los 1515 y 2121 años?
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Una bolsa contiene 44 bolas negras y 22 blancas. Otra bolsa contiene 22 bolas negras y 66 blancas. Se elige una de las bolsas al azar y se extrae una bola.
a
Calcular la probabilidad de que la bola sea blanca.
b
Sabiendo que la bola es blanca, calcular la probabilidad de que sea de la primera bolsa.
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