Matemáticas II · La Rioja 2021

Sea la función $$f(x) = x e^{1/x^3}$$ Determinar el dominio y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan.

Sea $f$ una función continua cuya derivada viene dada de la siguiente manera: $$f'(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0 \end{cases}$$ Hallar la expresión de las funciones $f$ y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en el punto $x = 0$.

Calcular el área del recinto limitado por la función $f(x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^2}$, el eje OX y las rectas $x = 0$ y $x = 5$.

Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + y + az = 1 \\ 2x + ay = -1 \\ ax + y + z = 1 \end{cases}$$ según el valor del parámetro real $a$. Determinar la inversa de la matriz asociada al sistema para $a = 0$.

Hallar $A$ y $B$, matrices soluciones del sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 3A - 5B = C \\ -A + 3B = D \end{cases}$$ donde $C$ y $D$ son las matrices: $$C = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Determinar la matriz inversa de $C^T D$, donde $C^T$ es la matriz traspuesta de $C$.

Sabiendo que $|A| = 1$, donde: $$A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ calcular el determinante de la matriz $B$ con $$B = \begin{pmatrix} x & y & z \\ x + 1 & y + 1 & z + 1 \\ 2(x + a) & 2(y + b) & 2(z + c) \end{pmatrix}$$ Calcular $|4 B^{-1} A^T|^2$.

Hallar la ecuación de una recta, tal que:

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto $P(2, -1, 1)$ y corta perpendicularmente a la recta $$r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = z$$

La duración de un cierto modelo de máquina de aire acondicionado sigue una distribución normal, con media $20$ años y desviación típica $5$ años. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de la máquina por un periodo de $25$ años.

Una bolsa contiene $4$ bolas negras y $2$ blancas. Otra bolsa contiene $2$ bolas negras y $6$ blancas. Se elige una de las bolsas al azar y se extrae una bola.