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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2020

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene cinco partes, de 2,5 puntos cada una. Debes responde a CUATRO de ellas. En cada parte debes responder a una única pregunta. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. No se podrán usar calculadoras que tengan alguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibilidad de transmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Primera parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discutir, en función de AA, el sistema que sigue y resolver cuando sea posible:S={x+y+z=2A2x+3y+4z=24x+4y+Az=4AS = \begin{cases} x + y + z = 2A \\ 2x + 3y + 4z = 2 \\ 4x + 4y + Az = 4A \end{cases}
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Primera parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Dada la matriz M=(1011)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, calcular razonadamente M2020M^{2020}.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Segunda parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Dada la rectar={3x+y−z=22x+y+4z=1 y el plano π≡3x+(α+1)(y+1)+αz=1r = \begin{cases} 3x + y - z = 2 \\ 2x + y + 4z = 1 \end{cases} \text{ y el plano } \pi \equiv 3x + (\alpha + 1)(y + 1) + \alpha z = 1
a
hallar α\alpha para que la recta y el plano sean paralelos,
b
determinar si el punto P=(1,1,2)P = (1, 1, 2) pertenece al plano hallado en a).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Segunda parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Hallar el punto QQ, simétrico de P=(1,2,3)P = (1, 2, 3) respecto al plano de ecuación: x+y+z=0x + y + z = 0, explicando los pasos seguidos para su cálculo.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Tercera parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea ff la función definida como sigue:f(x)={ax2+3x,x≤2x2−bx−4,x>2f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x, & x \leq 2 \\ x^2 - bx - 4, & x > 2 \end{cases}Calcular aa y bb razonadamente, sabiendo que ff es derivable en toda la recta real.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Tercera parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x2e2xf(x) = x^2 e^{2x}. Encontrar sus extremos.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Cuarta parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Representar la región finita del plano limitada por la curva y=3−x2y = 3 - x^2 y por la recta y=2xy = 2x. Calcular su área.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Cuarta parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Explicar en qué consiste el método de integración por partes y aplicarlo para calcular la integral∫xcos⁡(3x) dx\int x \cos(3x) \, dx
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Quinta parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

Una máquina produce recipientes cuyas capacidades se distribuyen según una distribución normal N(10;0,1)N(10; 0{,}1). Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre 9,89{,}8 y 10,110{,}1. Calcular:
a
La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso.
b
Si se han fabricado 15001500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Quinta parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

En un instituto el 4040 por ciento de sus alumnos tiene el cabello castaño, el 3535 por ciento tiene los ojos azules y el 1515 por ciento tiene el cabello castaño y los ojos azules. Se escoge una persona al azar:
a
Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos azules?
b
Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño?
c
¿Cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño ni los ojos azules?
d
¿Cuál es la probabilidad de que tenga el cabello castaño o los ojos azules?
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