Matemáticas II · Canarias 2015

Consideremos la función $f(x) = \ln(x - 1)$ definida en el intervalo $[2, e + 1]$. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva $y = \ln(x - 1)$ que sea paralela a la recta que pasa por los puntos $A(2, 0)$ y $B(e + 1, 1)$.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 2^x + a & \text{si } x \leq -1 \\ ax + b & \text{si } -1 < x \leq 0 \\ 3x^2 + 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

Calcular las integrales indefinidas siguientes

La boca de un túnel tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo como se muestra en la figura. Encontrar las medidas del túnel que deje pasar más luz si el perímetro de la figura mide $5$ metros.

Dado el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 3x - ay = -3 \\ 2x + ay - 5z = 13 \\ x + 3y - 2z = 5 \end{cases}$$

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -k & 4 \\ 1 & 1 & 7 \\ 1 & -1 & 12 \end{pmatrix}$

Dadas las rectas $r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R} \quad s \equiv \begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ 3y - z + (2 + m) = 0 \end{cases}$, se pide:

Sean $r$ y $s$ las rectas $r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 3 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R} \quad s \equiv x - 1 = y = z - 3$. Calcular: