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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. , La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Consideremos la función f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1) definida en el intervalo [2,e+1][2, e + 1]. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva y=ln⁡(x−1)y = \ln(x - 1) que sea paralela a la recta que pasa por los puntos A(2,0)A(2, 0) y B(e+1,1)B(e + 1, 1).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular las integrales indefinidas siguientes
a
∫dx(2x+1)2+4\int \frac{dx}{(2x + 1)^2 + 4}
b
∫x2(x3+1)−7dx\int x^2 (x^3 + 1)^{-7} dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones{3x−ay=−32x+ay−5z=13x+3y−2z=5\begin{cases} 3x - ay = -3 \\ 2x + ay - 5z = 13 \\ x + 3y - 2z = 5 \end{cases}
a
Estudiar su compatibilidad para los distintos valores del parámetro aa.1,5 pts
b
Resolverlo para a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas r≡{x=3+λy=−1+2λz=2+λ∀λ∈Rs≡{x+2y−1=03y−z+(2+m)=0r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \quad\allowbreak \forall \lambda \in \mathbb{R} \quad\allowbreak s \equiv \begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ 3y - z + (2 + m) = 0 \end{cases}, se pide:
a
Determinar si rr y ss son rectas paralelas.1 pt
b
Hallar el valor del parámetro mm para que las rectas rr y ss estén contenidas en un mismo plano.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se considera la funciónf(x)={2x+asi x≤−1ax+bsi −1<x≤03x2+2si x>0f(x) = \begin{cases} 2^x + a & \text{si } x \leq -1 \\ ax + b & \text{si } -1 < x \leq 0 \\ 3x^2 + 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}Determinar si existen valores de los parámetros aa y bb para los que f(x)f(x) sea derivable en todo R\mathbb{R}. Justificar la respuesta.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
La boca de un túnel tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo como se muestra en la figura. Encontrar las medidas del túnel que deje pasar más luz si el perímetro de la figura mide 55 metros.
Esquema de la boca de un túnel formada por un rectángulo y un semicírculo superior.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la matriz A=(2−k41171−112)A = \begin{pmatrix} 2 & -k & 4 \\ 1 & 1 & 7 \\ 1 & -1 & 12 \end{pmatrix}
a
¿Para qué valores del parámetro kk la matriz AA tiene matriz inversa?1 pt
b
Hallar la matriz A−1A^{-1} cuando kk toma el valor k=1k = 1.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean rr y ss las rectas r≡{x=λy=1−λz=3∀λ∈Rs≡x−1=y=z−3r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 3 \end{cases} \quad\allowbreak \forall \lambda \in \mathbb{R} \quad\allowbreak s \equiv x - 1 = y = z - 3. Calcular:
a
La ecuación del plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto (0,1,3)(0, 1, 3).0,75 pts
b
Las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas.1 pt
c
La ecuación del plano π\pi que contiene a las rectas rr y ss.0,75 pts
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