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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2019OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función C(t)=te−t/2C(t) = te^{-t/2} mg/ml, siendo tt el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.
a
Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza.2 pts
b
Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es 11 mg/ml, señala si en algún momento del tratamiento hay riesgo para el paciente.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dado un número real a>0a > 0, considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dada por f(x)=x2−axf(x) = x^2 - ax, y la recta y=2axy = 2ax. Determina aa sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de ff y la recta anterior es 3636.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la matriz A=(543422321)A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} halla la matriz XX que cumple AX=(A−1At+I)2AX = (A^{-1} A^t + I)^2, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA e II la matriz identidad de orden 33.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera la recta r≡{x+y+2=0−y+z+5=0r \equiv \begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ -y + z + 5 = 0 \end{cases} y el plano π≡2x+y−mz=1\pi \equiv 2x + y - mz = 1
a
Calcula mm sabiendo que rr y π\pi son paralelos.1,25 pts
b
Para m=−1m = -1, calcula la distancia entre rr y π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada f:(1,e)→Rf: (1, e) \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=1x+ln⁡(x)f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) (ln\\ln denota la función logaritmo neperiano), determina la recta tangente a la gráfica de ff que tiene pendiente máxima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:[0,π6]→Rf: [0, \frac{\pi}{6}] \to \mathbb{R} una función continua y sea FF la primitiva de ff que cumple F(0)=π3F(0) = \frac{\pi}{3} y F(π6)=πF(\frac{\pi}{6}) = \pi. Calcula:
a
∫0π6(3f(x)−cos⁡(x))dx\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (3f(x) - \cos(x)) dx1 pt
b
∫0π6sen⁡(F(x))f(x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \operatorname{sen}(F(x)) f(x) dx1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales{x+λy+z=4−λx+y+z=1x+y+z=λ+3\begin{cases} x + \lambda y + z = 4 \\ -\lambda x + y + z = 1 \\ x + y + z = \lambda + 3 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de λ\lambda.1,5 pts
b
Resuelve el sistema, si es posible, para λ=1\lambda = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Halla cada uno de los puntos de la recta r≡{x−y=0y−z=0r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases} de manera que junto con los puntos A(1,1,0)A(1, 1, 0), B(1,0,1)B(1, 0, 1) y C(0,1,1)C(0, 1, 1) formen un tetraedro de volumen 56\frac{5}{6}.
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