Matemáticas II · Andalucía 2019

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función $C(t) = te^{-t/2}$ mg/ml, siendo $t$ el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.

Dada $f: (1, e) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)$ ($\\ln$ denota la función logaritmo neperiano), determina la recta tangente a la gráfica de $f$ que tiene pendiente máxima.

Dado un número real $a > 0$, considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por $f(x) = x^2 - ax$, y la recta $y = 2ax$. Determina $a$ sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta anterior es $36$.

Sea $f: [0, \frac{\pi}{6}] \to \mathbb{R}$ una función continua y sea $F$ la primitiva de $f$ que cumple $F(0) = \frac{\pi}{3}$ y $F(\frac{\pi}{6}) = \pi$. Calcula:

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ halla la matriz $X$ que cumple $AX = (A^{-1} A^t + I)^2$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ e $I$ la matriz identidad de orden $3$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} x + \lambda y + z = 4 \\ -\lambda x + y + z = 1 \\ x + y + z = \lambda + 3 \end{cases}$$

Considera la recta $r \equiv \begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ -y + z + 5 = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv 2x + y - mz = 1$

Halla cada uno de los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$ de manera que junto con los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(1, 0, 1)$ y $C(0, 1, 1)$ formen un tetraedro de volumen $\frac{5}{6}$.