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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{ax+y+z=0x+ay+z=0x+y+az=1\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 1 \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los valores del número real aa.1,5 pts
b
Resuélvalo cuando aa sea nulo si es posible.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean el punto P(−1,2,0)P(-1, 2, 0) y el plano π:2x−3y+z=8\pi: 2x - 3y + z = 8. Calcule:
a
Las ecuaciones de una recta que pase por el punto PP y sea perpendicular al plano π\pi.0,5 pts
b
La distancia dd del punto PP al plano π\pi.0,5 pts
c
La ecuación de otro plano, paralelo a π\pi y distinto de él, que diste de PP la misma distancia dd.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la curva y=13x3−4x2−23x−4y = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 - \frac{2}{3}x - 4.
a
Halle los puntos de la curva en que la recta tangente es paralela a la recta 2x+3y−4=02x + 3y - 4 = 0.2 pts
b
Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en x=1x = 1.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)={4x+12si x≤−1x2−4x+3si x>−1f(x) = \begin{cases} 4x + 12 & \text{si } x \leq -1 \\ x^2 - 4x + 3 & \text{si } x > -1 \end{cases}.
a
Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función ff.0,75 pts
b
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas y la recta x=2x = 2.1,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el número real aa se considera la matriz A=(1a1110100)A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Halle el rango de la matriz A2−AtA^2 - A^t según los distintos valores de aa.
Datos
  • AtA^t es la matriz traspuesta de AA
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se consideran los puntos en el espacio A(1,−1,1)A(1, -1, 1) y B(2,2,2)B(2, 2, 2).
a
Halle el punto medio de AA y BB.0,5 pts
b
Dé la ecuación del plano respecto al cual AA y BB son puntos simétricos.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la parábola y=x2−3x+6y = x^2 - 3x + 6.
a
Halle la ecuación de la tangente a la gráfica de esa curva en el punto de abscisa x=3x = 3.0,5 pts
b
Haga un dibujo aproximado del recinto limitado por la gráfica de la parábola, el eje OYOY y la recta tangente hallada anteriormente.0,5 pts
c
Calcule el área del recinto anterior.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule lim⁡x→1(2−x)11−x\lim_{x \to 1} (2 - x)^{\frac{1}{1 - x}}.
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