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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2010

4 ejercicios

Instrucciones

Realizar una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a2+a)x+(2a+1)y+az=1(a2+a)x+(3a+3)y+(a+1)z=2(a+2)y−az=a+2\begin{cases} (a^2 + a)x + (2a + 1)y + az = 1 \\ (a^2 + a)x + (3a + 3)y + (a + 1)z = 2 \\ (a + 2)y - az = a + 2 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados los puntos P≡(2,1,1)P \equiv (2, 1, 1) y Q≡(1,2,−1)Q \equiv (1, 2, -1), encuentra los puntos RR y SS de la rectar≡x+21=y+21=z0r \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{0}que cumplen que PQRPQR y PQSPQS son triángulos equiláteros.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Halla la derivada y su valor en el punto x=1x = 1 para cada una de las siguientes funciones:
a
f(x)=x(x+2x)f(x) = x^{(x + 2^x)}1 pt
b
g(x)=arctg⁡(cos⁡(π2x))g(x) = \arctg(\cos(\frac{\pi}{2}x))1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la funciónf(x)=ln⁡[3+x+sen⁡(πx3x2+x+2)]f(x) = \ln \left[ 3 + x + \sen \left( \frac{\pi x^3}{x^2 + x + 2} \right) \right]demuestra que existe un valor α∈(−1,2)\alpha \in (-1, 2) tal que f(α)=1f(\alpha) = 1. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Calcula el determinante de A⋅BA \cdot B y el de A+BA + B, siendoA=(2−1301−202−2)yB=(1002−300−21)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las rectasr≡{2x+y+z−6=0x−y+2z−3=0ys≡x+12=y+21=z+24r \equiv \begin{cases} 2x + y + z - 6 = 0 \\ x - y + 2z - 3 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 2}{4}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)=sen⁡(π2x)+cos⁡(πx)f(x) = \sen(\pi 2^x) + \cos(\pi x)demuestra que existe un valor α∈(−1,2)\alpha \in (-1, 2) tal que f′(α)=13f'(\alpha) = \frac{1}{3}. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Encuentra los tres puntos en que se cortan las gráficas de las funciones f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x y g(x)=sen⁡(πx)g(x) = \sen(\pi x). Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).
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