Matemáticas II · Navarra 2010

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a^2 + a)x + (2a + 1)y + az = 1 \\ (a^2 + a)x + (3a + 3)y + (a + 1)z = 2 \\ (a + 2)y - az = a + 2 \end{cases}$$

Calcula el determinante de $A \cdot B$ y el de $A + B$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Dados los puntos $P \equiv (2, 1, 1)$ y $Q \equiv (1, 2, -1)$, encuentra los puntos $R$ y $S$ de la recta $$r \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{0}$$ que cumplen que $PQR$ y $PQS$ son triángulos equiláteros.

Encuentra la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las rectas $$r \equiv \begin{cases} 2x + y + z - 6 = 0 \\ x - y + 2z - 3 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 2}{4}$$

Halla la derivada y su valor en el punto $x = 1$ para cada una de las siguientes funciones:

Dada la función $$f(x) = \sen(\pi 2^x) + \cos(\pi x)$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{3}$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dada la función $$f(x) = \ln \left[ 3 + x + \sen \left( \frac{\pi x^3}{x^2 + x + 2} \right) \right]$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 2)$ tal que $f(\alpha) = 1$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Encuentra los tres puntos en que se cortan las gráficas de las funciones $f(x) = x^3 - x$ y $g(x) = \sen(\pi x)$. Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.