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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2024

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se consideran las matrices A=(1−10012−1−10)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} y C=(01−130−1)C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}. a) Calcular la inversa de la matriz A+AtA + A^t donde AtA^t es la traspuesta de AA. (1 punto) b) Encontrar la matriz X que verifica XA+XAt=CXA + XA^t = C. (1 punto)
a
Calcular la inversa de la matriz A+AtA + A^t donde AtA^t es la traspuesta de AA.1 pt
b
Encontrar la matriz X que verifica XA+XAt=CXA + XA^t = C.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Estudia el rango de la matriz A=(2m112m121m)A = \begin{pmatrix} 2m & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix} según sea el valor de mm.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a) Dados los vectores u⃗=(2,1,0)\vec{u} = (2,1,0), v⃗=(5,0,1)\vec{v} = (5,0,1) y w⃗=(a,b,1)\vec{w} = (a,b,1), calcular aa y bb para que u⃗\vec{u} y w⃗\vec{w} sean perpendiculares y además los tres vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean linealmente dependientes. (1 punto) b) Calcular el volumen del paralelepípedo que forman u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y z⃗=(1,2,1)\vec{z} = (1,2,1). (1 punto)
a
Dados los vectores u⃗=(2,1,0)\vec{u} = (2,1,0), v⃗=(5,0,1)\vec{v} = (5,0,1) y w⃗=(a,b,1)\vec{w} = (a,b,1), calcular aa y bb para que u⃗\vec{u} y w⃗\vec{w} sean perpendiculares y además los tres vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean linealmente dependientes.1 pt
b
Calcular el volumen del paralelepípedo que forman u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y z⃗=(1,2,1)\vec{z} = (1,2,1).1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se consideran las rectas r:{x=1−2λy=5+2λz=−6λr: \begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = 5 + 2\lambda \\ z = -6\lambda \end{cases} y s:x+11=y−1a=z3s: \dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y-1}{a} = \dfrac{z}{3}. a) Calcular aa para que ambas rectas sean paralelas. (1 punto) b) Hallar el ángulo que forma la recta rr y el plano de ecuación −3x+4y−4=0-3x + 4y - 4 = 0. (1 punto)
a
Calcular aa para que ambas rectas sean paralelas.1 pt
b
Hallar el ángulo que forma la recta rr y el plano de ecuación −3x+4y−4=0-3x + 4y - 4 = 0.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Se considera la función f(x)=4x+4x2f(x) = \dfrac{4x + 4}{x^2}. a) Estudiar sus asíntotas, monotonía y extremos relativos. (1,5 puntos) b) Representarla gráficamente. (0,5 puntos)
a
Estudiar sus asíntotas, monotonía y extremos relativos.1,5 pts
b
Representarla gráficamente.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Calcular aa, bb y cc para que la funciónf(x)={x2+ax−bsi x<0a+cxsi x≥0f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - b & \text{si } x < 0 \\ a + cx & \text{si } x \geq 0 \end{cases}cumpla los requisitos del teorema de Rolle en el intervalo [−2,2][-2, 2].
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Hallar la integral ∫−x2+7x+6x3+x2−2x dx\displaystyle\int \frac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x}\,dx.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones f(x)=−x3+3x2+6f(x) = -x^3 + 3x^2 + 6 y g(x)=2x+6g(x) = 2x + 6.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
En una votación se registran 900 votos en total. El candidato A consigue 300 votos; el B consigue el 25% del total y el candidato C se lleva el resto. Se sabe que el 60% de los que han votado al candidato A eran mujeres; el 60% de los del B eran hombres, y el 20% de los del candidato C eran mujeres. a) Si se elige un votante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1 punto) b) Si un votante es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado al candidato A? (1 punto)
a
Si se elige un votante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?1 pt
b
Si un votante es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado al candidato A?1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es de 0.4. Si realiza 5 lanzamientos, calcula: a) La probabilidad de que no haga ningún hoyo. (0,75 puntos) b) La probabilidad de hacer como mucho 2 hoyos. (0,75 puntos) c) El número medio de hoyos. (0,5 puntos)
a
La probabilidad de que no haga ningún hoyo.0,75 pts
b
La probabilidad de hacer como mucho 2 hoyos.0,75 pts
c
El número medio de hoyos.0,5 pts
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