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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2024Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2024

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Se considera la matriz AA dada por: A=(1−a−2−11a12−2a)A = \begin{pmatrix} 1 - a & -2 & -1 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & -2 & a \end{pmatrix}
a)1 pts
Determine los valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para los que exista la inversa de AA.
b)1 pts
Para a=−2a = -2, calcule A−1A^{-1}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Un equipo de baloncesto regional ha vendido tres tipos de entradas para su último partido. Las entradas generales se han vendido a 1010 euros, las entradas para estudiantes a 88 euros y las entradas infantiles a 55 euros. El equipo ha conseguido vender 600600 entradas y ganar 49004900 euros. Además, se sabe que ha vendido el doble de entradas generales que de entradas infantiles. Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva para calcular el número de entradas vendidas de cada tipo.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sea f(x)f(x) una función real de variable real cuya derivada viene dada por la siguiente expresión: f′(x)=x2+x−2f'(x) = x^2 + x - 2
a)1 pts
Obtenga la expresión de la función f(x)f(x) sabiendo que pasa por el punto (0,2)(0, 2).
b)1 pts
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x), clasificando sus extremos relativos, si procede.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}: {2x+y+z=ax+ay+z=a+1x+y+az=2\begin{cases} 2x + y + z = a \\ x + ay + z = a + 1 \\ x + y + az = 2 \end{cases}
a)1 pts
Discuta el sistema en función de los valores del parámetro aa.
b)1 pts
Resuelva el sistema de ecuaciones para a=1a = 1.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x)={x2−x+e2si x<1ae2xsi x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 - x + e^2 & \text{si } x < 1 \\ a e^{2x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a)1 pts
Halle el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que f(x)f(x) sea continua en todo su dominio.
b)1 pts
Para a=1a=1, calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función anterior, el eje de abscisas y las rectas x=1x = 1 y x=2x = 2.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
En un festival de música con 200200 asistentes se observa que a 9090 personas les gusta el pop, a 7070 el techno y a 3030 les gustan ambos géneros. Eligiendo al azar a un asistente del festival, calcule la probabilidad de que:
a)1 pts
Le guste al menos uno de los dos géneros musicales.
b)1 pts
Le guste el techno, pero no el pop.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Se considera la siguiente función real de variable real: f(x)=x−2x2−9f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 9}
a)1 pts
Determine las asíntotas de esta función.
b)1 pts
Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
La cantidad de agua absorbida por un tipo particular de planta acuática se puede modelar con una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ=8\sigma = 8 ml.
a)1 pts
Se selecciona aleatoriamente una muestra de 2525 plantas acuáticas y se determina que la cantidad media de agua absorbida es de 120120 ml. Calcule un intervalo de confianza del 95 %95\,\% para la media de la cantidad de agua absorbida por este tipo de planta acuática.
b)1 pts
Determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que el error máximo, en la estimación de la media de la cantidad de agua absorbida, sea menor que 11 ml, con un nivel de confianza del 90 %90\,\%.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Se dispone de 6060 gramos de ácido acetilsalicílico para elaborar tabletas en dos formatos, de 44 gramos y de 33 gramos respectivamente. Se necesitan al menos tres tabletas de 44 gramos, al menos ocho tabletas de 33 gramos y al menos el doble de tabletas de 33 gramos que de 44 gramos. Cada tableta de 44 gramos proporciona un beneficio de 1,51{,}5 euros y cada tableta de 33 gramos proporciona un beneficio de 11 euro. ¿Cuántas tabletas deberían fabricarse de cada tipo para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
En tres tanques, A, B y C, de una piscifactoría se crían, respectivamente, el 35 %35\,\%, el 20 %20\,\% y el 45 %45\,\% de los alevines de salmón noruego. Se sabe que el 15 %15\,\% de los alevines criados en el tanque A, el 30 %30\,\% de los alevines criados en el tanque B y el 25 %25\,\% de los alevines criados en el tanque C miden más de 3535 mm. Eligiendo al azar un alevín de salmón noruego, calcule la probabilidad de que:
a)1 pts
Mida más de 3535 mm.
b)1 pts
Sabiendo que no mide más de 3535 mm, proceda del tanque C.
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