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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2012

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A y de la cantidad invertida en B no puede exceder de 15000 euros. La rentabilidad esperada para las acciones de tipo A es del 1 % y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %.
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San Valentín claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros respectivamente. Han vendido 900 claveles en total y han recaudado 1600 euros. Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos.
a
Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de cada color han vendido.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
La función G(t)=t2−8t+20G(t) = t^2 - 8t + 20, 0≤t≤60 \leq t \leq 6, representa las ganancias, en miles de euros, de una empresa durante los últimos 6 meses, siendo tt el tiempo medido en meses.
a
¿Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t=2t = 2)?0,25 pts
b
¿Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? ¿Cuál fue su valor?1,25 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={(x+1)2−tsi x≤0∣x−2∣−3si x>0f(x) = \begin{cases} (x + 1)^2 - t & \text{si } x \leq 0 \\ |x - 2| - 3 & \text{si } x > 0 \end{cases} Se pide:
a
Hallar el valor de tt para que ff sea continua en x=0x = 0.0,5 pts
b
Para t=3t = 3, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 5

5
1,5 puntos
Según un estudio, el 30 % de las familias españolas van al cine regularmente, el 25 % leen regularmente, y el 15 % hacen las dos cosas.
a
Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, ¿cuál es la probabilidad de que esa familia lea regularmente?0,75 pts
b
Se selecciona una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al cine o lea regularmente?0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Se sabe que “la cantidad de glucosa en la sangre” en individuos adultos y sanos sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 20 mg/dl20\,\text{mg/dl}. Se eligió aleatoriamente una muestra de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta muestra de 85 mg/dl85\,\text{mg/dl}. Se pide:
a
Halla el intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de “la cantidad de glucosa en sangre”.1 pt
b
Discute razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza.1 pt
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Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Se consideran ecuaciones matriciales con matrices cuadradas del mismo orden.
a
Despeja la matriz XX en la siguiente ecuación matricial: 2⋅I+3⋅X+X⋅A=B2 \cdot I + 3 \cdot X + X \cdot A = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (II es la matriz identidad).0,75 pts
b
Si A=(2053)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} calcula la matriz XX que cumple A⋅X=IA \cdot X = I, donde II es la matriz identidad de orden 2.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa. La compañía dispone de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble de la suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del número total de autobuses que van a Roma y a París.
a
Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Dada la función f(x)=13x3+ax2+bx+cf(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + c. Calcula los valores de las constantes aa, bb y cc para que la gráfica de la función pase por el punto (0,−6)(0, -6), tenga un máximo relativo en el punto de abscisa x=−1x = -1, y un punto de inflexión en x=1x = 1.
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={(x+3)2si x≤0∣2x3−2∣−3si x>0f(x) = \begin{cases} (x + 3)^2 & \text{si } x \leq 0 \\ |2x^3 - 2| - 3 & \text{si } x > 0 \end{cases} Se pide:
a
Estudia su continuidad en x=0x = 0.0,5 pts
b
Extremos relativos en el intervalo (−6,0)(-6, 0).0,5 pts
c
Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (−∞,0)(-\infty, 0).0,5 pts
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Ejercicio 5

5
1,5 puntos
Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60 % de los artículos y el resto los produce la línea 2. Sabemos que el 0.5 % de los artículos producidos por la línea 1 tiene algún defecto y así mismo el 2 % de los artículos producidos por la línea 2 son defectuosos.
a
Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso.0,75 pts
b
Sabiendo que un artículo tiene defectos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la línea 2?0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus clientes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos. El tiempo que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 20, 28, 21, 26, 30, 16, 18, 35 y 27 minutos respectivamente. Se pide:
a
Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %.1,25 pts
b
¿Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza?0,75 pts
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