Matemáticas II · Cantabria 2012

Determina para qué valores de $a$ y $b$ la matriz $A$ es regular (inversible).

Determina para qué valores de $a$ y $b$ se cumple $A = A^{-1}$.

Para $a = 2$ y $b = 2$, determina las matrices $C$ que verifican $AC = BC$.

Encuentra los valores de $a$, $b$ y $c$ de forma que la gráfica de la función $f$ pase por el punto $(0, 0)$ y las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x = 0$ y $x = 1$ sean ambas paralelas a la recta $y = 3x + 5$.

Para $a > 0, b = 0$ y $c = 0$, determina la función $f$ tal que el área de la región limitada por su gráfica, el eje $OX$ (recta $y = 0$) y las rectas $x = 0$ y $x = 1$ sea igual a $3$ unidades de superficie.

De entre todos los números reales positivos $x, y$ que suman $15$, encuentra aquellos para los que el producto $x^2 y$ es máximo.

Determina si la función $f(x) = |x| - x$ es derivable en $x = 0$.

Calcula la ecuación de la recta $r$ perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $P$.

Determina el punto $Q$ simétrico del punto $P$ respecto del plano $\pi$.

Calcula la distancia del punto $Q$ al plano $\pi$.

El área del triángulo $ABC$.

El perímetro del triángulo $ABC$.

Las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triángulo $ABC$.