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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2012

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales:{x+y+2z=0x+ay+3z=1x+y+(2−a)z=a,a∈R\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ x + ay + 3z = 1 \\ x + y + (2 - a)z = a \end{cases}, a \in \mathbb{R}Estúdialo para los distintos valores del parámetro aa y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considera la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
a
Encuentra los valores de aa, bb y cc de forma que la gráfica de la función ff pase por el punto (0,0)(0, 0) y las rectas tangentes a la gráfica de ff en los puntos de abscisa x=0x = 0 y x=1x = 1 sean ambas paralelas a la recta y=3x+5y = 3x + 5.1,75 pts
b
Para a>0,b=0a > 0, b = 0 y c=0c = 0, determina la función ff tal que el área de la región limitada por su gráfica, el eje OXOX (recta y=0y = 0) y las rectas x=0x = 0 y x=1x = 1 sea igual a 33 unidades de superficie.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera el punto P=(1,0,4)P = (1, 0, 4) y el plano π≡2x−y+3z=0\pi \equiv 2x - y + 3z = 0:
a
Calcula la ecuación de la recta rr perpendicular al plano π\pi y que pasa por el punto PP.0,75 pts
b
Determina el punto QQ simétrico del punto PP respecto del plano π\pi.1,5 pts
c
Calcula la distancia del punto QQ al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera las matrices:A=(1a00a000b),B=(04−14−20020),C=(xyz), donde a,b∈RA = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -1 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \text{ donde } a, b \in \mathbb{R}
a
Determina para qué valores de aa y bb la matriz AA es regular (inversible).0,5 pts
b
Determina para qué valores de aa y bb se cumple A=A−1A = A^{-1}.1,25 pts
c
Para a=2a = 2 y b=2b = 2, determina las matrices CC que verifican AC=BCAC = BC.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
De entre todos los números reales positivos x,yx, y que suman 1515, encuentra aquellos para los que el producto x2yx^2 y es máximo.2,25 pts
b
Determina si la función f(x)=∣x∣−xf(x) = |x| - x es derivable en x=0x = 0.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sean A,BA, B y CC los puntos de intersección del plano π\pi de ecuación 2x+y−4z−4=02x + y - 4z - 4 = 0 con los tres ejes coordenados OXOX, OYOY y OZOZ respectivamente. Calcula:
a
El área del triángulo ABCABC.1,25 pts
b
El perímetro del triángulo ABCABC.1 pt
c
Las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triángulo ABCABC.1 pt
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