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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Realiza una de las dos opciones, A o B. La duración de la prueba es de 90 minutos. Se calificará de 0 a 10 puntos, redondeando a cuartos de punto. Se debe responder exclusivamente a las preguntas de una de las dos opciones (A o B). Si alguien responde a cuestiones de las dos opciones, la nota final será la peor de las dos puntuaciones obtenidas. Se tendrá en cuenta el planteamiento seguido para la resolución del problema y la claridad en la exposición. Si es pertinente, se valorará la referencia a los resultados teóricos usados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a−3)x+(a−2)y+2z=−1(2a−6)x+(3a−6)y+5z=−1(3−a)x+(a−2)z=a2−4a+5\begin{cases} (a - 3) x + (a - 2) y + 2 z = - 1 \\ (2 a - 6) x + (3 a - 6) y + 5 z = - 1 \\ (3 - a) x + (a - 2) z = a^2 - 4 a + 5 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Halla el simétrico del punto P≡(2,5,2)P \equiv (2, 5, 2) respecto de la rectar≡x+12=y−2−1=z+12r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 1}{2}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Demuestra que existe α∈(0,2)\alpha \in (0, 2) tal que f′(α)=1f'(\alpha) = 1, siendof(x)=sen⁡(π+πx2)⋅cos⁡(πx2)⋅ln⁡(2ex+2x−x2)f(x) = \sen \left(\frac{\pi + \pi x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \cdot \ln (2 e^x + 2 x - x^2)Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
La gráfica de la función f(x)=cos⁡(πx2)f(x) = \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) divide al cuadrado de centro (0,0)(0,0) y lado 2 en tres regiones. Calcula el área de cada una de esas tres regiones.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Calcula el valor del parámetro tt para que se cumpla la igualdad ∣A−1∣=−1|A^{-1}| = - 1, siendo AA la siguiente matriz:A=(t2t+2−tt0012)A = \begin{pmatrix} t & 2 & t + 2 \\ - t & t & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Halla la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las rectasr≡{x+y+z−3=02x+z−5=0ys≡x−2−2=y+31=z−11r \equiv \begin{cases} x + y + z - 3 = 0 \\ 2 x + z - 5 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a
∫x+1x2+3x−4dx\int \frac{x + 1}{x^2 + 3 x - 4} dx1 pt
b
∫ex1+2ex+e2xdx\int \frac{e^x}{1 + 2 e^x + e^{2 x}} dx1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Halla los extremos relativos y los puntos de inflexión de la funciónf(x)=x4−x2f(x) = x^4 - x^2
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