Matemáticas II · Navarra 2018

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a - 3) x + (a - 2) y + 2 z = - 1 \\ (2 a - 6) x + (3 a - 6) y + 5 z = - 1 \\ (3 - a) x + (a - 2) z = a^2 - 4 a + 5 \end{cases}$$

Calcula el valor del parámetro $t$ para que se cumpla la igualdad $|A^{-1}| = - 1$, siendo $A$ la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} t & 2 & t + 2 \\ - t & t & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Halla el simétrico del punto $P \equiv (2, 5, 2)$ respecto de la recta $$r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$$

Halla la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las rectas $$r \equiv \begin{cases} x + y + z - 3 = 0 \\ 2 x + z - 5 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{1}$$

Demuestra que existe $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 1$, siendo $$f(x) = \sen \left(\frac{\pi + \pi x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \cdot \ln (2 e^x + 2 x - x^2)$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

La gráfica de la función $f(x) = \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ divide al cuadrado de centro $(0,0)$ y lado 2 en tres regiones. Calcula el área de cada una de esas tres regiones.

Halla los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función $$f(x) = x^4 - x^2$$