Matemáticas II · Andalucía 2014

De entre todos los triángulos rectángulos de área $8\,\text{cm}^2$, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función derivable definida por $$f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x} + \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano.

Calcula $$\int \frac{dx}{2x(x + \sqrt{x})}$$ (Sugerencia: cambio de variable $t = \sqrt{x}$).

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = e^x \cos(x)$.

Sabiendo que el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix}$ es $3$, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} mx - 2y + z = 1 \\ x - 2my + z = -2 \\ x - 2y + mz = 1 \end{cases}$$

Sea $r$ la recta definida por $\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ y $s$ la recta dada por $\frac{x - 1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-2}$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $2x + y - z + 2 = 0$, y la recta $r$ de ecuación $$\frac{x - 5}{-2} = y = \frac{z - 6}{-3}$$