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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2014Modelo 1

Matemáticas II · Andalucía 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm28\,\text{cm}^2, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫dx2x(x+x)\int \frac{dx}{2x(x + \sqrt{x})} (Sugerencia: cambio de variable t=xt = \sqrt{x}).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sabiendo que el determinante de la matriz A=(abcbdecef)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} es 33, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
a
det⁡(A3)\det(A^3), det⁡(A−1)\det(A^{-1}), det⁡(A+At)\det(A + A^t) (AtA^t indica la traspuesta de AA).1 pt
b
det⁡(abccef2b2d2e)\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & e & f \\ 2b & 2d & 2e \end{pmatrix}0,75 pts
c
det⁡(ab4a−cbd4b−ece4c−f)\det \begin{pmatrix} a & b & 4a - c \\ b & d & 4b - e \\ c & e & 4c - f \end{pmatrix}0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta definida por {x=1+λy=1+λz=λ\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} y ss la recta dada por x−1−2=y1=z−1−2\frac{x - 1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-2}
a
Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a rr y a ss.1,75 pts
b
Calcula la distancia entre rr y ss.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función derivable definida porf(x)={a−xsi x≤1bx+ln⁡xsi x>1f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x} + \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.
a
Calcula aa y bb.1,25 pts
b
Para a=3a = 3 y b=2b = 2 calcula los extremos absolutos de ff en el intervalo [0,e][0, e] (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=excos⁡(x)f(x) = e^x \cos(x).
a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
b
Calcula la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (0,0)(0, 0).1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{mx−2y+z=1x−2my+z=−2x−2y+mz=1\begin{cases} mx - 2y + z = 1 \\ x - 2my + z = -2 \\ x - 2y + mz = 1 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores del parámetro mm.1,75 pts
b
Si es posible, resuelve el sistema para m=−2m = -2.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π\pi de ecuación 2x+y−z+2=02x + y - z + 2 = 0, y la recta rr de ecuaciónx−5−2=y=z−6−3\frac{x - 5}{-2} = y = \frac{z - 6}{-3}
a
Determina la posición relativa de π\pi y rr.0,5 pts
b
Halla la ecuación general del plano que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.1 pt
c
Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a π\pi que contiene a rr.1 pt
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