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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAragónPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Aragón 2021

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El estudiante responderá, como máximo, a tres de las seis preguntas propuestas. La nota final será el resultado de sumar las puntuaciones obtenidas en las preguntas realizadas y dividir dicha suma para tres.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dadas las matrices A=(3m63)A = \begin{pmatrix} 3 & m \\ 6 & 3 \end{pmatrix} y B=(13m063)B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & m \\ 0 & 6 & 3 \end{pmatrix}. Se pide:
a
Determina los valores del parámetro mm para que AA tenga inversa. Para m=2m = 2, calcula A−1A^{-1}.3 pts
b
Discute y resuelve, según los valores del parámetro mm, el sistema de ecuaciones:B(xyz)=(010)B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}7 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
El nutricionista de una fábrica de piensos aconseja a los granjeros dedicados a la cría de cerdos una ingesta de, al menos, 28 unidades de proteína y, al menos, 36 unidades de grasa vegetal. El nutricionista sabe que cada kilo de soja proporciona 5 unidades de proteína y 3 unidades de grasa y cada kilo de maíz proporciona 1 u. de proteína y 3 u. de grasa. Los precios del kilo de soja y maíz son 3€ y 2€, respectivamente y el granjero dispone de un presupuesto de 60€.
a
Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular la cantidad de soja y maíz que deben consumir los cerdos de manera que se minimice el coste de la alimentación. Obtén dicho valor mínimo.8 pts
b
Si el granjero pensara que la dieta más cara es la mejor, ¿sería una solución óptima adquirir 12 kg. de soja y 15 kg. de maíz?2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sea la función:f(x)={−x2−2xsi x<0x3−6x2+9xsi x≥0f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ x^3 - 6x^2 + 9x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Estudia si f(x)f(x) es continua en x=0x = 0, ¿f(x)f(x) es continua en la recta real?3 pts
b
Halla los mínimos y máximos absolutos de f(x)f(x) en x∈[1,4]x \in [1, 4].3 pts
c
Analiza la concavidad (∩\cap) - convexidad (∪\cup) de f(x)f(x) cuando x>0x > 0.1 pt
d
Calcula ∫12f(x)dx\int_{1}^{2} f(x) dx3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la función:f(x)=2x2−16x+3f(x) = \frac{2x^2 - 16}{x + 3}
a
Calcula el dominio y las asíntotas de f(x)f(x).4 pts
b
Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de f(x)f(x) en su dominio.6 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Los profesores Alvarado, Benítez y Cadiñanos, han corregido el 25%, 30% y 45%, respectivamente, de los exámenes de una oposición. Los porcentajes de cometer algún fallo en la corrección son 1%, 2% y 3%, respectivamente. Si se selecciona un examen al azar:
a
Calcula la probabilidad de que esté mal corregido.3 pts
b
El examen tiene un error de corrección, calcula la probabilidad de haber sido corregido por Benítez.3 pts
c
El examen tiene un error de corrección ¿qué corrector tiene mayor probabilidad de haber corregido mal el examen?4 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Se desea estimar la proporción de estudiantes que viven en un colegio mayor a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de estudiantes.
a
Por estudios previos se sabe que el porcentaje de estudiantes alojados en un colegio mayor es del 20%. ¿De qué tamaño debemos elegir la muestra para que el error de la estimación de la proporción sea menor de 0,10{,}1 con un nivel de confianza del 98%?6 pts
b
Se toma una muestra de 50 estudiantes y se observa que 12 se alojan en un colegio mayor, calcula el intervalo de confianza al 98% para la proporción de estudiantes alojados en un colegio mayor.4 pts
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