Matemáticas II · Andalucía 2018

Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene en $x = 1$ un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1, 1)$.

Determina $k \neq 0$ sabiendo que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} 3 - kx^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{kx} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ es derivable.

Considera las funciones $f$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dadas por $f(x) = 6x - x^2$ y $g(x) = |x^2 - 2x|$.

Considera las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \frac{1}{x}$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + 2y + (m + 3)z = 3 \\ x + y + z = 3m \\ 2x + 4y + 3(m + 1)z = 8 \end{cases}$$

Se desea realizar un pago de 36 euros cumpliendo las siguientes restricciones: - utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros; - se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas; - tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.

Considera los puntos $P(1, 0, -1)$, $Q(2, 1, 1)$ y la recta $r$ dada por $$x - 5 = y = \frac{z + 2}{-2}$$

Considera el punto $P(2, -1, 3)$ y el plano $\pi$ de ecuación $3x + 2y + z = 5$.