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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Halla los coeficientes aa, bb y cc sabiendo que la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tiene en x=1x = 1 un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de ff pasa por el punto (1,1)(1, 1).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera las funciones ff y g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} dadas por f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2 y g(x)=∣x2−2x∣g(x) = |x^2 - 2x|.
a
Esboza el recinto limitado por las gráficas de ff y gg y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.1,25 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ff y gg.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{x+2y+(m+3)z=3x+y+z=3m2x+4y+3(m+1)z=8\begin{cases} x + 2y + (m + 3)z = 3 \\ x + y + z = 3m \\ 2x + 4y + 3(m + 1)z = 8 \end{cases}
a
Discútelo según los valores del parámetro mm.1,75 pts
b
Resuelve el sistema para m=−2m = -2.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos P(1,0,−1)P(1, 0, -1), Q(2,1,1)Q(2, 1, 1) y la recta rr dada porx−5=y=z+2−2x - 5 = y = \frac{z + 2}{-2}
a
Determina el punto simétrico de PP respecto de rr.1,25 pts
b
Calcula el punto de rr que equidista de PP y QQ.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determina k≠0k \neq 0 sabiendo que la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida porf(x)={3−kx2si x≤12kxsi x>1f(x) = \begin{cases} 3 - kx^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{kx} & \text{si } x > 1 \end{cases}es derivable.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x}.
a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=12x = \frac{1}{2} y comprueba que también es tangente a la gráfica de gg. Determina el punto de tangencia con la gráfica de gg.1,25 pts
b
Esboza el recinto limitado por las gráficas de ff y gg y la recta tangente común, calculando todos los puntos de corte.0,5 pts
c
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se desea realizar un pago de 36 euros cumpliendo las siguientes restricciones: - utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros; - se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas; - tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.
a
Justifica que es posible hacer el pago. ¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?1,5 pts
b
Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(2,−1,3)P(2, -1, 3) y el plano π\pi de ecuación 3x+2y+z=53x + 2y + z = 5.
a
Calcula el punto simétrico de PP respecto de π\pi.1,75 pts
b
Calcula la distancia de PP a π\pi.0,75 pts
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