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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2017ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto (0,2)(0, 2) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=1x = 1 es la recta x+y=3x + y = 3.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫0311+x3dx\int_{0}^{3} \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} dx (sugerencia t=x3t = \sqrt[3]{x}).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por AX=BAX = B siendoA=(1−111mmm13),X=(xyz)yB=(11m). A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & m \\ m & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ m \end{pmatrix}.
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,5 pts
b
Para m=2m = 2, si es posible, resuelve el sistema dado.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea π\pi el plano determinado por los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,1,0)B(0, 1, 0) y C(0,0,λ)C(0, 0, \lambda), siendo λ\lambda un número real, y sea rr la recta dada por r≡{y−z=3−x+2y=3r \equiv \begin{cases} y - z = 3 \\ -x + 2y = 3 \end{cases}
a
Halla la ecuación del plano que pasa por AA y contiene a rr.1,25 pts
b
Estudia la posición relativa de rr y π\pi según los valores de λ\lambda.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función definida por f(x)=−x+4x2f(x) = -x + \frac{4}{x^2} para x≠0x \neq 0.
a
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.1 pt
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1 pt
c
Esboza la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫01x2+1(x+1)2dx\int_{0}^{1} \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(10m−10m−12−m0−12−m)yB=(−1011−1001−1). A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m - 1 \\ 0 & m - 1 & 2 - m \\ 0 & -1 & 2 - m \end{pmatrix} \qquad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
a
Determina los valores de mm para los que la matriz AA no tiene inversa.1 pt
b
Para m=1m = 1, calcula, si existe, la matriz XX que verifica la igualdad A−1XA+I=BA^{-1}XA + I = B, siendo II la matriz identidad.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(−1,0,1)P(-1, 0, 1), el vector u⃗=(1,2,1)\vec{u} = (1, 2, 1) y el plano π\pi de ecuación y=0y = 0.
a
Halla la ecuación de la recta que pasa por PP, está contenida en π\pi y cuyo vector director es perpendicular a u⃗\vec{u}.1,25 pts
b
Determina la ecuación del plano que pasa por PP, es perpendicular a π\pi y del que u⃗\vec{u} es un vector director.1,25 pts
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