Matemáticas II · Extremadura 2020

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$:

Sean los vectores $\vec{u} = (4, 3, \alpha)$, $\vec{v} = (\alpha, 1, 0)$ y $\vec{w} = (2\alpha, 1, \alpha)$ (con $\alpha \in \mathbb{R}$).

Dados el plano $\Pi_1$ determinado por los puntos $(0, 1, 1)$, $(2, 0, 2)$ y $(1, 2, 6)$ y el plano $\Pi_2$ dado por la ecuación $x - y + z = 3$. Calcule una recta que sea paralela a los dos planos y que no esté contenida en ninguno de ellos.

Sea la función $f(x) = \frac{4x}{1 + x^2}$.

Calcule los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la siguiente función $f(x)$ es derivable en todo su dominio: $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ -2 + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

Sean las funciones $f(x) = 1 - x^2$ y $g(x) = -3$.

Calcule la integral $$\int \frac{3x}{x^2 - x - 2} dx$$

Se realizaron dos debates electorales, uno el lunes y otro el martes. Se hizo una encuesta a $1.500$ personas para estimar la audiencia, de las cuales: $1.100$ personas vieron el debate del lunes, $1.000$ vieron el debate del martes y $300$ no vieron ninguno. Eligiendo al azar a uno de los encuestados:

El radio de un pistón se distribuye según una distribución normal de media $5$ cm y desviación típica de $0{,}01$ cm.