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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2020

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES PARA REALIZAR EL EXAMEN. El examen consta de 10 preguntas, cuyo valor es de 2 puntos cada una. El estudiante ha de elegir 5 preguntas. Observación importante: En ningún caso deberá responder a un número mayor del indicado porque en la corrección del examen solo se tendrán en cuenta las cinco primeras preguntas respondidas. Se seguirá el orden en el que las respuestas aparezcan desarrolladas por el estudiante. Si se desea que alguna de ellas no sea tenida en cuenta, el estudiante ha de tacharla y dejarlo claramente indicado. En ese caso, además de las cuatro primeras preguntas sin tachar, se corregiría la que ocupe el siguiente lugar Justifcar las respuestas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean las matrices A=(1−121)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} y B=(114−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}:
a
Calcule los productos de matrices A⋅BA \cdot B y B⋅AB \cdot A. ¿Se cumple que A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A?1 pt
b
Compruebe si es cierta la igualdad (A+B)2=A2+B2(A + B)^2 = A^2 + B^2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Estudie en función del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R} el siguiente sistema de ecuaciones:{x+λz=1x+y+λz=1λx−y+z=1\begin{cases} x + \lambda z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \\ \lambda x - y + z = 1 \end{cases}1,25 pts
b
Resuelve el sistema (si es posible) para λ=1\lambda = 1.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean los vectores u⃗=(4,3,α)\vec{u} = (4, 3, \alpha), v⃗=(α,1,0)\vec{v} = (\alpha, 1, 0) y w⃗=(2α,1,α)\vec{w} = (2\alpha, 1, \alpha) (con α∈R\alpha \in \mathbb{R}).
a
Determine los valores de α\alpha para que u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean linealmente independientes.1 pt
b
Para el valor α=1\alpha = 1 exprese w⃗\vec{w} como combinación lineal de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dados el plano Π1\Pi_1 determinado por los puntos (0,1,1)(0, 1, 1), (2,0,2)(2, 0, 2) y (1,2,6)(1, 2, 6) y el plano Π2\Pi_2 dado por la ecuación x−y+z=3x - y + z = 3. Calcule una recta que sea paralela a los dos planos y que no esté contenida en ninguno de ellos.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Sea la función f(x)=4x1+x2f(x) = \frac{4x}{1 + x^2}.
a
Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función f(x)f(x).1,5 pts
b
Con los datos obtenidos en el apartado anterior, represente de forma aproximada la gráfica de la función f(x)f(x).0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Calcule los valores de aa y bb sabiendo que la siguiente función f(x)f(x) es derivable en todo su dominio:f(x)={2x2+ax+bsi x≤1−2+ln⁡(x)si x>1f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ -2 + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Sean las funciones f(x)=1−x2f(x) = 1 - x^2 y g(x)=−3g(x) = -3.
a
Represente la región plana encerrada por las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).0,5 pts
b
Calcule el área de la región anterior.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcule la integral∫3xx2−x−2dx\int \frac{3x}{x^2 - x - 2} dx
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Se realizaron dos debates electorales, uno el lunes y otro el martes. Se hizo una encuesta a 1.5001.500 personas para estimar la audiencia, de las cuales: 1.1001.100 personas vieron el debate del lunes, 1.0001.000 vieron el debate del martes y 300300 no vieron ninguno. Eligiendo al azar a uno de los encuestados:
a
Calcule la probabilidad de que viera los dos debates.1 pt
b
Si vio el debate del lunes, calcule la probabilidad de que viera el del martes.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
El radio de un pistón se distribuye según una distribución normal de media 55 cm y desviación típica de 0,010{,}01 cm.
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar N(0,1) mostrando el área F(z) para un valor z.
a
Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio mayor que 5,015{,}01 cm.1 pt
b
Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio entre 4,984{,}98 y 55 cm.1 pt
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