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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2018ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir 10 cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Se pide:
Sección trapezoidal de una canaleta con base 10, costados 10 y proyecciones horizontales x.
a
Halla la altura de la canaleta en función de xx (ver la figura).0,25 pts
b
Halla el área de la sección de la canaleta en función de xx.0,75 pts
c
Encuentra el valor de xx que hace máximo dicho área.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la función f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} sabiendo que f′′(x)=1(x−1)2f''(x) = \frac{1}{(x-1)^2} y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2 es y=x+2y = x + 2.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(111010001),B=(01−1)yC=(112) A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
a
Calcula A2018A^{2018}.1 pt
b
Determina, si existe, la matriz XX que verifica A(X+2I)=BCA(X + 2I) = BC donde II es la matriz identidad.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectas rr y ss dadas porr≡{x+y=z+4x+2y=7ys≡{x−2=0y+3=0 r \equiv \begin{cases} x + y = z + 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases}
a
Estudia y determina la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Determina la recta perpendicular común a rr y a ss.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=exx−1f(x) = \frac{e^x}{x-1} para x≠1x \neq 1.
a
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.0,75 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).1 pt
c
Esboza la gráfica de ff indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=xcos⁡(x2)f(x) = x \cos\left(\frac{x}{2}\right).
a
Calcula ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.1,75 pts
b
Encuentra la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (0,1)(0, 1).0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{x+y+mz=1x+my+z=1x+2y+4z=m \begin{cases} x + y + mz = 1 \\ x + my + z = 1 \\ x + 2y + 4z = m \end{cases}
a
Discute el sistema en función del parámetro mm.1,75 pts
b
Si es posible, resuelve el sistema para m=1m = 1.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(2,−1,−2)A(2, -1, -2) y B(−1,−1,2)B(-1, -1, 2), y la recta rr dada porx−1=y−1−1=z−12 x - 1 = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{2}
a
Determina los puntos del segmento ABAB que lo dividen en 3 segmentos de la misma longitud.1 pt
b
Determina un punto CC de rr de forma que el triángulo ABCABC sea rectángulo en CC.1,5 pts
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