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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2024OrdinariaVariante 1

Matemáticas II · Castilla y León 2024

10 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuáles son los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. Todas las preguntas se calificarán con un máximo de 2 puntos.

Ejercicio E1

E1
2 puntos
Álgebra
**E1.- (Álgebra)** a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{x+y2+z=02ax+y=02x+y=0\begin{cases} x + \dfrac{y}{2} + z = 0 \\ 2ax + y = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases}
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Ejercicio E10

E10
2 puntos
Probabilidad y estadística
**E10.- (Probabilidad y Estadística)** Se sabe que la cantidad de tiempo que los habitantes de Astorga usan el móvil cada día sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos. Calcular: a) La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas. **(1 punto)** b) El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos. **(1 punto)**
a
La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas.1 pt
b
El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos.1 pt
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Ejercicio E2

E2
2 puntos
Álgebra
**E2.- (Álgebra)** Sean a∈Ra \in \mathbb{R} y M=(112a1011a)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}. a) Calcular el determinante y el rango de MM para cada valor a∈Ra \in \mathbb{R}. **(1 punto)** b) Para a=0a = 0, calcular el determinante de la matriz PP cuando 2PM=M32PM = M^3. **(1 punto)**
a
Calcular el determinante y el rango de MM para cada valor a∈Ra \in \mathbb{R}.1 pt
b
Para a=0a = 0, calcular el determinante de la matriz PP cuando 2PM=M32PM = M^3.1 pt
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Ejercicio E3

E3
2 puntos
Geometría
**E3.- (Geometría)** Hallar el punto simétrico del punto P=(1,0,−1)P = (1,0,-1) respecto de la recta r≡x−11=y2=z2r \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{2}. **(2 puntos)**
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Ejercicio E4

E4
2 puntos
Geometría
**E4.- (Geometría)** a) Determinar los valores del parámetro k∈Rk \in \mathbb{R} para los que las dos rectasr1≡{x=1y=kt, t∈Rz=k−2tyr2{x+2y+2z=−1x+y+z=kr_1 \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = kt,\ t \in \mathbb{R} \\ z = k - 2t \end{cases} \quad y \quad r_2 \begin{cases} x + 2y + 2z = -1 \\ x + y + z = k \end{cases}son paralelas. **(1 punto)** b) Para k=2k = 2 ¿Existe algún plano que contenga a las rectas r1r_1 y r2r_2? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan. **(1 punto)**
a
Determinar los valores del parámetro k∈Rk \in \mathbb{R} para los que las dos rectas r1r_1 y r2r_2 son paralelas.1 pt
b
Para k=2k = 2 ¿Existe algún plano que contenga a las rectas r1r_1 y r2r_2? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan.1 pt
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Ejercicio E5

E5
2 puntos
Análisis
**E5.- (Análisis)** Probar que la ecuación e−x(x−1)=1e^{-x}(x-1) = 1 no tiene solución para x∈Rx \in \mathbb{R}. **(2 puntos)**
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Ejercicio E6

E6
2 puntos
Análisis
**E6.- (Análisis)** Se considera la función f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C. Determinar el valor de los parámetros AA, BB y CC tales que f(−1)=0f(-1) = 0, la función ff presenta un extremo relativo en x=0x = 0 y la recta tangente a la gráfica de la función ff en x=−1x = -1 es paralela a la recta de ecuación y+3x=0y + 3x = 0. **(2 puntos)**
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Ejercicio E7

E7
2 puntos
Análisis
**E7.- (Análisis)** Dada la función f(x)=exx−1f(x) = e^x x^{-1}, determinar su dominio de definición, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. **(2 puntos)**
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Ejercicio E8

E8
2 puntos
Análisis
**E8.- (Análisis)** Calcular: a) lim⁡x→0x(ex−1)cos⁡(x)−1\lim_{x \to 0} \dfrac{x(e^x-1)}{\cos(x)-1}. **(1 punto)** b) ∫02e−x(x−1) dx\displaystyle\int_0^2 e^{-x}(x-1)\,dx. **(1 punto)**
a
lim⁡x→0x(ex−1)cos⁡(x)−1\lim_{x \to 0} \dfrac{x(e^x-1)}{\cos(x)-1}.1 pt
b
∫02e−x(x−1) dx\displaystyle\int_0^2 e^{-x}(x-1)\,dx.1 pt
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Ejercicio E9

E9
2 puntos
Probabilidad y estadística
**E9.- (Probabilidad y Estadística)** Entre los vehículos que revisa un taller mecánico: - El 48% de ellos son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación. - El 28% son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación. - El 24% son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación. Se consideran los sucesos: CC = "coche", MM = "motocicleta", FF = "furgoneta" y RR = "requiere reparación". a) Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores. **(0,2 puntos)** b) Calcular P(R∩F)P(R \cap F), P(R)P(R) y P(C/R)P(C/R). **(1,3 puntos)** c) ¿Son independientes los sucesos CC y RR? **(0,5 puntos)**
a
Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores.0,2 pts
b
Calcular P(R∩F)P(R \cap F), P(R)P(R) y P(C/R)P(C/R).1,3 pts
c
¿Son independientes los sucesos CC y RR?0,5 pts
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