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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2013Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2013

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cinco ejercicios de los que consta la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. TIEMPO: Una hora y treinta minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(310−1)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
a
Calcúlese A−1A^{-1}.1 pt
b
Resuélvase el sistema de ecuaciones dado por: A⋅(xy)=(11)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se desea maximizar la función f(x,y)=64,8x+76,5yf(x, y) = 64{,}8x + 76{,}5y sujeta a las siguientes restricciones:6x+5y≤700,2x+3y≤300,x≥0,y≥0.6x + 5y \leq 700, \quad 2x + 3y \leq 300, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0.
a
Represéntese gráficamente la región de soluciones factibles y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Determínese el valor máximo de ff sobre la región, indicando el punto donde se alcanza dicho máximo.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)=3e−2xf(x) = 3e^{-2x}.
a
Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto x=0x = 0.1 pt
b
Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de ff, las rectas x=0x = 0, x=0,5x = 0{,}5 y el eje de abscisas.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Al analizar las actividades de ocio de un grupo de trabajadores fueron clasificados como deportistas o no deportistas y como lectores o no lectores. Se sabe que el 55%55\% de los trabajadores se clasificaron como deportistas o lectores, el 40%40\% como deportistas y el 30%30\% como lectores. Se elige un trabajador al azar:
a
Calcúlese la probabilidad de que sea deportista y no sea lector.1 pt
b
Sabiendo que el trabajador elegido es lector, calcúlese la probabilidad de que sea deportista.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El número de megabytes (Mb) descargados mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil con la tarifa AA se puede aproximar por una distribución normal con media 3,53{,}5 Mb y desviación típica igual a 1,41{,}4 Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 4949.
a
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 3,373{,}37 Mb?1 pt
b
Supóngase ahora que la media poblacional es desconocida y que la media muestral toma el valor de 3,423{,}42 Mb. Obténgase un intervalo de confianza al 95%95\% para la media de la población.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real aa:{ax−2y=23x−y−z=−1x+3y+z=1\begin{cases} ax - 2y = 2 \\ 3x - y - z = -1 \\ x + 3y + z = 1 \end{cases}
a
Discútase en función de los valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.1 pt
b
Resuélvase para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable real f(x)={exsi x<0a+3xx2−4x+3si x≥0f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 0 \\ \frac{a + 3x}{x^2 - 4x + 3} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Estúdiese la continuidad de ff en x=0x = 0 para los distintos valores del parámetro aa.1 pt
b
Determínense las asíntotas de la función.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)=x(5−x)2f(x) = x(5 - x)^2.
a
Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.1 pt
b
Determínense los intervalos de concavidad y convexidad de ff.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres sastres. Un 5%5\% de los clientes atendidos por el sastre A no queda satisfecho, tampoco el 8%8\% de los atendidos por el sastre B ni el 10%10\% de los atendidos por el sastre C. El 55%55\% de los arreglos se encargan al sastre A, el 30%30\% al B y el 15%15\% restante al C. Calcúlese la probabilidad de que:
a
Un cliente no quede satisfecho con el arreglo.1 pt
b
Si un cliente no ha quedado satisfecho, le haya hecho el arreglo el sastre A.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media μ\mu y desviación típica igual a 19401940 h. Se toma una muestra aleatoria simple.
a
¿Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del 95%95\%, el valor absoluto de la diferencia entre μ\mu y la duración media observada X‾\overline{X} de esas bombillas sea inferior a 100100 h?1 pt
b
Si el tamaño de la muestra es 225225 y la duración media observada X‾\overline{X} es de 1241512415 h, obténgase un intervalo de confianza al 90%90\% para μ\mu.1 pt
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