Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2026

Instrucciones

Tiempo: No lo indica el examen
Qué responder: Responde a los cuatro ejercicios. En el 1, responde a todos los apartados; en el 2, el 3 y el 4, elige uno de los dos apartados propuestos.
Puntuación: Cada pregunta vale hasta 2,5 puntos. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Material: Se permite calculadora que no sea gráfica ni programable, que no realice cálculos simbólicos ni almacene texto o fórmulas en memoria.
Además: Escribe todos los pasos del razonamiento y justifica los resultados analíticos, numéricos y gráficos, uses o no calculadora. A partir de la tercera falta de ortografía se deducen 0,10 puntos hasta un máximo de un punto. Por errores de redacción, presentación, coherencia, cohesión, léxico y gramática se puede deducir hasta medio punto.

2,5 puntos

Probabilidad y estadística

Rafa y Roger son dos tenistas que se han enfrentado a lo largo de sus carreras profesionales en tres tipos superficies: hierba, tierra batida y pista dura. El

10\%

de los partidos se jugaron en hierba y el

40\%

en tierra batida. Por otra parte, Rafa ganó el

25\%

de los partidos jugados en hierba, mientras que Roger ganó el

12{,}5\%

de los jugados en tierra batida y el

55\%

en pista dura. Se pide: Responda a todos los apartados

1.1

Entre todos sus enfrentamientos, ¿cuál es el porcentaje de partidos que ha ganado Roger?0,75 pts

0,75 pts

1.2

Si un partido fue ganado por Rafa, ¿cuál es la probabilidad de que se jugara en pista dura?0,75 pts

0,75 pts

1.3

Si tomamos una muestra de

10

partidos jugados en pista dura, ¿cuál es la probabilidad de que Roger haya ganado

5

6

partidos?1 pt

1 pt

Ver este ejercicio

2,5 puntos

Álgebra

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

Mediante un proceso de mezclado continuo en tres tanques interconectados, una planta química produce tres compuestos,

X

Y

Z

, ligados a unos valores reales

x

y

z

, respectivamente, llamados pseudodensidades. Las pseudodensidades en los tanques deben estar en equilibrio para mantener la concentración deseada de los productos. Los ingenieros del proceso han establecido las siguientes condiciones de equilibrio: • Tanque 1: La suma de la pseudodensidad

x

, más el triple de la pseudodensidad

y

, más la pseudodensidad

z

ha de valer

5

. • Tanque 2: La suma de

\alpha

veces la pseudodensidad

x

, mas el doble de la pseudodensidad

z

debe anularse, donde

\alpha

es el factor catalizador. • Tanque 3: La pseudodensidad

z

ha de ser

\alpha

veces la pseudodensidad

y

. Se pide:

2.1.1

Estudiar la existencia y el número de soluciones

x

y

z

(las posibles configuraciones de equilibrio) en función de los valores del factor catalizador

\alpha

.1,25 pts

1,25 pts

2.1.2

Cuando el factor catalizador satisface

\alpha\neq -1

, el proceso alcanza estados de equilibrio factibles. En este caso, calcular, si existen, los valores

x

y

z

, en función del valor

\alpha

.1,25 pts

1,25 pts

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix}5&-2\\2&3\end{pmatrix}

y el vector

b=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}

, se pide:

2.2.1

Resolver el sistema de ecuaciones

Ax=Bx+b

.1 pt

1 pt

2.2.2

Hallar el valor de

\det(A^5(2B)^{-1})

.0,75 pts

0,75 pts

2.2.3

Calcular los valores de

\alpha

\beta

, si existen, que satisfacen

\alpha A+\beta B=I

, siendo

I

la matriz identidad.0,75 pts

0,75 pts

Ver este ejercicio

2,5 puntos

Geometría

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

Se consideran los puntos del espacio

A(0, -1, 0)

B(1, 0, 1)

, y el vector

v=(2, -1, 1)

. Se pide:

3.1.1

Encontrar una ecuación del plano

\pi

que es perpendicular a

v

y pasa por

A

.0,75 pts

0,75 pts

3.1.2

Encontrar una ecuación de la recta que es perpendicular a

\pi

y pasa por

B

.0,75 pts

0,75 pts

3.1.3

Encontrar el punto

C

del plano

\pi

que está más cerca de

B

.0,75 pts

0,75 pts

3.1.4

Calcular la distancia del punto

B

al plano

\pi

.0,25 pts

0,25 pts

Dado el plano

\pi:2x+3y-z=0

y los puntos

A(0, 0, 0)

B(10, 0, -20)

C(0, 15, -30)

D(1, 2, -1)

, se pide:

3.2.1

Estudiar si el triángulo

ABC

está contenido en el plano

\pi

.0,5 pts

0,5 pts

3.2.2

Calcular las coordenadas de la proyección del punto

D

sobre el plano formado por los puntos

A

B

C

.1,25 pts

1,25 pts

3.2.3

Calcular la distancia del punto

D

al plano

\pi

.0,75 pts

0,75 pts

Ver este ejercicio

2,5 puntos

Análisis

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

Un brote de gripe se propaga a lo largo de unos días. El coeficiente de gravedad de la gripe

t

días después de iniciarse el brote viene dado por una función

F(t)

cuya derivada es

F^{\prime}(t)=t^2(10-t)

. Se pide:

4.1.1

Calcular la función

F(t)

sabiendo que en

t=0

el coeficiente de gravedad es

6

.1,25 pts

1,25 pts

4.1.2

Calcular cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el valor máximo del coeficiente y cuál es dicho número.1,25 pts

1,25 pts

Un arquitecto está diseñando un pequeño invernadero para un jardín. El suelo del invernadero tiene forma de triángulo para maximizar la eficiencia y la captación de luz. El perímetro total del invernadero está fijado en

60

metros para cumplir con las restricciones medioambientales de la zona, uno de los lados del triángulo mide

x

metros y los otros dos lados tienen la misma longitud. Se pide:

4.2.1

Deducir la expresión de la función

A(x)

que representa el área del suelo del invernadero.1 pt

1 pt

4.2.2

El arquitecto define una función de eficiencia estructural,

f(x)

, que se calcula como el cuadrado del área del suelo del invernadero. Obtener el valor de

x

para el que la eficiencia estructural es máxima y hallar el área en este caso.1,5 pts

1,5 pts

Ver este ejercicio

Formulario

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Tabla de la distribución binomial (

\operatorname{Bin}(n,p)

)

F(x)=P(X\leq x)=\sum_{k=0}^{x}\binom{n}{k}p^k q^{n-k}

n

$n$	$k$	$p = 0,01$	$p = 0,05$
1	0	0,9900	0,9500
1	1	1,0000	1,0000
2	0	0,9801	0,9025
2	1	0,9999	0,9975
2	2	1,0000	1,0000
3	0	0,9703	0,8574
3	1	0,9997	0,9928
3	2	1,0000	0,9999
3	3	1,0000	1,0000
4	0	0,9606	0,8145
4	1	0,9994	0,9860
4	2	1,0000	0,9995
4	3	1,0000	1,0000
4	4	1,0000	1,0000
5	0	0,9510	0,7738
5	1	0,9990	0,9774
5	2	1,0000	0,9988
5	3	1,0000	1,0000
5	4	1,0000	1,0000
5	5	1,0000	1,0000
6	0	0,9415	0,7351
6	1	0,9985	0,9672
6	2	1,0000	0,9978
6	3	1,0000	0,9999
6	4	1,0000	1,0000
6	5	1,0000	1,0000
6	6	1,0000	1,0000
7	0	0,9321	0,6983
7	1	0,9980	0,9556
7	2	1,0000	0,9962
7	3	1,0000	0,9998
7	4	1,0000	1,0000
7	5	1,0000	1,0000
7	6	1,0000	1,0000
7	7	1,0000	1,0000
8	0	0,9227	0,6634
8	1	0,9973	0,9428
8	2	0,9999	0,9942
8	3	1,0000	0,9996
8	4	1,0000	1,0000
8	5	1,0000	1,0000
8	6	1,0000	1,0000
8	7	1,0000	1,0000
8	8	1,0000	1,0000
9	0	0,9135	0,6302
9	1	0,9966	0,9288
9	2	0,9999	0,9916
9	3	1,0000	0,9994
9	4	1,0000	1,0000
9	5	1,0000	1,0000
9	6	1,0000	1,0000
9	7	1,0000	1,0000
9	8	1,0000	1,0000
9	9	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 0,10$	$p = 0,20$
1	0	0,9000	0,8000
1	1	1,0000	1,0000
2	0	0,8100	0,6400
2	1	0,9900	0,9600
2	2	1,0000	1,0000
3	0	0,7290	0,5120
3	1	0,9720	0,8960
3	2	0,9990	0,9920
3	3	1,0000	1,0000
4	0	0,6561	0,4096
4	1	0,9477	0,8192
4	2	0,9963	0,9728
4	3	0,9999	0,9984
4	4	1,0000	1,0000
5	0	0,5905	0,3277
5	1	0,9185	0,7373
5	2	0,9914	0,9421
5	3	0,9995	0,9933
5	4	1,0000	0,9997
5	5	1,0000	1,0000
6	0	0,5314	0,2621
6	1	0,8857	0,6554
6	2	0,9842	0,9011
6	3	0,9987	0,9830
6	4	0,9999	0,9984
6	5	1,0000	0,9999
6	6	1,0000	1,0000
7	0	0,4783	0,2097
7	1	0,8503	0,5767
7	2	0,9743	0,8520
7	3	0,9973	0,9667
7	4	0,9998	0,9953
7	5	1,0000	0,9996
7	6	1,0000	1,0000
7	7	1,0000	1,0000
8	0	0,4305	0,1678
8	1	0,8131	0,5033
8	2	0,9619	0,7969
8	3	0,9950	0,9437
8	4	0,9996	0,9896
8	5	1,0000	0,9988
8	6	1,0000	0,9999
8	7	1,0000	1,0000
8	8	1,0000	1,0000
9	0	0,3874	0,1342
9	1	0,7748	0,4362
9	2	0,9470	0,7382
9	3	0,9917	0,9144
9	4	0,9991	0,9804
9	5	0,9999	0,9969
9	6	1,0000	0,9997
9	7	1,0000	1,0000
9	8	1,0000	1,0000
9	9	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 0,25$	$p = 0,30$
1	0	0,7500	0,7000
1	1	1,0000	1,0000
2	0	0,5625	0,4900
2	1	0,9375	0,9100
2	2	1,0000	1,0000
3	0	0,4219	0,3430
3	1	0,8438	0,7840
3	2	0,9844	0,9730
3	3	1,0000	1,0000
4	0	0,3164	0,2401
4	1	0,7383	0,6517
4	2	0,9492	0,9163
4	3	0,9961	0,9919
4	4	1,0000	1,0000
5	0	0,2373	0,1681
5	1	0,6328	0,5282
5	2	0,8965	0,8369
5	3	0,9844	0,9692
5	4	0,9990	0,9976
5	5	1,0000	1,0000
6	0	0,1780	0,1176
6	1	0,5339	0,4202
6	2	0,8306	0,7443
6	3	0,9624	0,9295
6	4	0,9954	0,9891
6	5	0,9998	0,9993
6	6	1,0000	1,0000
7	0	0,1335	0,0824
7	1	0,4449	0,3294
7	2	0,7564	0,6471
7	3	0,9294	0,8740
7	4	0,9871	0,9712
7	5	0,9987	0,9962
7	6	0,9999	0,9998
7	7	1,0000	1,0000
8	0	0,1001	0,0576
8	1	0,3671	0,2553
8	2	0,6785	0,5518
8	3	0,8862	0,8059
8	4	0,9727	0,9420
8	5	0,9958	0,9887
8	6	0,9996	0,9987
8	7	1,0000	0,9999
8	8	1,0000	1,0000
9	0	0,0751	0,0404
9	1	0,3003	0,1960
9	2	0,6007	0,4628
9	3	0,8343	0,7297
9	4	0,9511	0,9012
9	5	0,9900	0,9747
9	6	0,9987	0,9957
9	7	0,9999	0,9996
9	8	1,0000	1,0000
9	9	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 1 / 3$	$p = 0,35$
1	0	0,6667	0,6500
1	1	1,0000	1,0000
2	0	0,4444	0,4225
2	1	0,8889	0,8775
2	2	1,0000	1,0000
3	0	0,2963	0,2746
3	1	0,7407	0,7183
3	2	0,9630	0,9571
3	3	1,0000	1,0000
4	0	0,1975	0,1785
4	1	0,5926	0,5630
4	2	0,8889	0,8735
4	3	0,9877	0,9850
4	4	1,0000	1,0000
5	0	0,1317	0,1160
5	1	0,4609	0,4284
5	2	0,7901	0,7648
5	3	0,9547	0,9460
5	4	0,9959	0,9947
5	5	1,0000	1,0000
6	0	0,0878	0,0754
6	1	0,3512	0,3191
6	2	0,6804	0,6471
6	3	0,8999	0,8826
6	4	0,9822	0,9777
6	5	0,9986	0,9982
6	6	1,0000	1,0000
7	0	0,0585	0,0490
7	1	0,2634	0,2338
7	2	0,5706	0,5323
7	3	0,8267	0,8002
7	4	0,9547	0,9444
7	5	0,9931	0,9910
7	6	0,9995	0,9994
7	7	1,0000	1,0000
8	0	0,0390	0,0319
8	1	0,1951	0,1691
8	2	0,4682	0,4278
8	3	0,7414	0,7064
8	4	0,9121	0,8939
8	5	0,9803	0,9747
8	6	0,9974	0,9964
8	7	0,9998	0,9998
8	8	1,0000	1,0000
9	0	0,0260	0,0207
9	1	0,1431	0,1211
9	2	0,3772	0,3373
9	3	0,6503	0,6089
9	4	0,8552	0,8283
9	5	0,9576	0,9464
9	6	0,9917	0,9888
9	7	0,9990	0,9986
9	8	0,9999	0,9999
9	9	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 0,40$	$p = 0,45$
1	0	0,6000	0,5500
1	1	1,0000	1,0000
2	0	0,3600	0,3025
2	1	0,8400	0,7975
2	2	1,0000	1,0000
3	0	0,2160	0,1664
3	1	0,6480	0,5748
3	2	0,9360	0,9089
3	3	1,0000	1,0000
4	0	0,1296	0,0915
4	1	0,4752	0,3910
4	2	0,8208	0,7585
4	3	0,9744	0,9590
4	4	1,0000	1,0000
5	0	0,0778	0,0503
5	1	0,3370	0,2562
5	2	0,6826	0,5931
5	3	0,9130	0,8688
5	4	0,9898	0,9815
5	5	1,0000	1,0000
6	0	0,0467	0,0277
6	1	0,2333	0,1636
6	2	0,5443	0,4415
6	3	0,8208	0,7447
6	4	0,9590	0,9308
6	5	0,9959	0,9917
6	6	1,0000	1,0000
7	0	0,0280	0,0152
7	1	0,1586	0,1024
7	2	0,4199	0,3164
7	3	0,7102	0,6083
7	4	0,9037	0,8471
7	5	0,9812	0,9643
7	6	0,9984	0,9963
7	7	1,0000	1,0000
8	0	0,0168	0,0084
8	1	0,1064	0,0632
8	2	0,3154	0,2201
8	3	0,5941	0,4770
8	4	0,8263	0,7396
8	5	0,9502	0,9115
8	6	0,9915	0,9819
8	7	0,9993	0,9983
8	8	1,0000	1,0000
9	0	0,0101	0,0046
9	1	0,0705	0,0385
9	2	0,2318	0,1495
9	3	0,4826	0,3614
9	4	0,7334	0,6214
9	5	0,9006	0,8342
9	6	0,9750	0,9502
9	7	0,9962	0,9909
9	8	0,9997	0,9992
9	9	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 0,50$
1	0	0,5000
1	1	1,0000
2	0	0,2500
2	1	0,7500
2	2	1,0000
3	0	0,1250
3	1	0,5000
3	2	0,8750
3	3	1,0000
4	0	0,0625
4	1	0,3125
4	2	0,6875
4	3	0,9375
4	4	1,0000
5	0	0,0313
5	1	0,1875
5	2	0,5000
5	3	0,8125
5	4	0,9688
5	5	1,0000
6	0	0,0156
6	1	0,1094
6	2	0,3438
6	3	0,6563
6	4	0,8906
6	5	0,9844
6	6	1,0000
7	0	0,0078
7	1	0,0625
7	2	0,2266
7	3	0,5000
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n

$n$	$k$	$p = 0,01$	$p = 0,05$
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13	13	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 0,10$	$p = 0,20$
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13	13	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 0,25$	$p = 0,30$
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13	13	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 1 / 3$	$p = 0,35$
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13	11	1,0000	1,0000
13	12	1,0000	1,0000
13	13	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 0,40$	$p = 0,45$
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13	9	0,9922	0,9797
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13	11	0,9999	0,9995
13	12	1,0000	1,0000
13	13	1,0000	1,0000

n

$n$	$k$	$p = 0,50$
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11	0	0,0005
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12	12	1,0000
13	0	0,0001
13	1	0,0017
13	2	0,0112
13	3	0,0461
13	4	0,1334
13	5	0,2905
13	6	0,5000
13	7	0,7095
13	8	0,8666
13	9	0,9539
13	10	0,9888
13	11	0,9983
13	12	0,9999
13	13	1,0000

Instrucciones

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Formulario