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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2010

Matemáticas II · Andalucía 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Una hoja de papel tiene que contener 18 cm218\,\text{cm}^2 de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm2\,\text{cm} cada uno y los laterales 1 cm1\,\text{cm}. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la integral I=∫51+e−x dxI = \int \frac{5}{1 + \sqrt{e^{-x}}} \, dx.
a
Expresa II haciendo el cambio de variable t2=e−xt^2 = e^{-x}.1 pt
b
Determina II.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
a
Discute, según los valores del parámetro λ\lambda, el siguiente sistema de ecuaciones:{−x+λy+z=λλx+2y+(λ+2)z=4x+3y+2z=6−λ\begin{cases} -x + \lambda y + z = \lambda \\ \lambda x + 2y + (\lambda + 2)z = 4 \\ x + 3y + 2z = 6 - \lambda \end{cases}1,75 pts
b
Resuelve el sistema anterior para λ=0\lambda = 0.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta rr de ecuaciones {x−2y+11=02y+z−19=0\begin{cases} x - 2y + 11 = 0 \\ 2y + z - 19 = 0 \end{cases} y contiene a la recta ss definida por {x=1−5λy=−2+3λz=2+2λ\begin{cases} x = 1 - 5\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases}.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} definida por:f(x)={x2+ax+bsi 0≤x≤2cxsi 2<x≤4f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}
a
Sabiendo que ff es derivable en todo el dominio y que verifica f(0)=f(4)f(0) = f(4), determina los valores de aa, bb y cc.1,75 pts
b
Para a=−3a = -3, b=4b = 4 y c=1c = 1 halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4.
a
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.0,75 pts
b
Esboza el recinto limitado por la gráfica de ff, el eje de ordenadas y la recta de ecuación y=2x+3y = 2x + 3. Calcula su área.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean las matricesA=(10−11),B=(1000−1−1012)yC=(31201−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}Calcula la matriz XX que cumpla la ecuación AXB=CAXB = C.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los planos π1\pi_1, π2\pi_2 y π3\pi_3 dados respectivamente por las ecuacionesx+y=1,ay+z=0yx+(1+a)y+az=a+1x + y = 1, \quad ay + z = 0 \quad \text{y} \quad x + (1 + a)y + az = a + 1
a
¿Cuánto ha de valer aa para que no tengan ningún punto en común?1,5 pts
b
Para a=0a = 0, determina la posición relativa de los planos.1 pt
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