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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2017

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real aa:{x−2y−z=−2−2x−az=2y+az=−2\begin{cases} x - 2y - z = -2 \\ -2x - az = 2 \\ y + az = -2 \end{cases}
a
Discútase en función de los valores del parámetro aa.1 pt
b
Resuélvase para a=4a = 4.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la región del plano SS definida por:1≤x≤5;2≤y≤6;x−y≥−4;3x−y≤10.1 \leq x \leq 5; \quad 2 \leq y \leq 6; \quad x - y \geq -4; \quad 3x - y \leq 10.
a
Represéntese gráficamente la región SS y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Calcúlense los valores máximo y mínimo de la función f(x,y)=−200x+600yf(x, y) = -200x + 600y en la región SS y obténganse los puntos de SS donde se alcanzan dichos valores.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real:f(x)={ax+1si x<−1x2+x−2si x≥−1f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{si } x < -1 \\ x^2 + x - 2 & \text{si } x \geq -1 \end{cases}
a
Calcúlese el valor del parámetro real aa para que f(x)f(x) sea una función continua en todo su dominio.1 pt
b
Para a=2a = 2, calcúlense los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes cartesianos. Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una empresa fabrica dos modelos de ordenadores portátiles A y B, siendo la producción del modelo A el doble que la del modelo B. Se sabe que la probabilidad de que un ordenador portátil del modelo A salga defectuoso es de 0,020{,}02, mientras que esa probabilidad en el modelo B es de 0,060{,}06. Calcúlese la probabilidad de que un ordenador fabricado por dicha empresa elegido al azar:
a
No salga defectuoso.1 pt
b
Sea del modelo A, si se sabe que ha salido defectuoso.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El tiempo, en horas, que tarda cierta compañía telefónica en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfono se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ=24\sigma = 24 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 1616. Calcúlese:
a
La probabilidad de que la media muestral del tiempo, Xˉ\bar{X}, supere las 4848 horas, si μ=36\mu = 36 horas.1 pt
b
El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo (24,24;47,76)(24{,}24; 47{,}76) para μ\mu.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Considérense las matrices:A=(1−2−11)B=(132−1)yC=(−1031)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}
a
Determínese la matriz C40C^{40}.1 pt
b
Calcúlese la matriz XX que verifica X⋅A+3B=CX \cdot A + 3B = C.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable realf(x)=x2−13x−2.f(x) = \frac{x^2 - 1}{3x - 2}.
a
Estúdiense sus asíntotas.1 pt
b
Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable realf(x)=x2+ax.f(x) = x^2 + ax.
a
Calcúlese el valor del parámetro real aa para que la función f(x)f(x) tenga un extremo relativo en x=2x = 2. Determínese si se trata de un máximo o un mínimo local.1 pt
b
Para a=−2a = -2, hállese el área del recinto acotado por la gráfica de f(x)f(x), el eje de abscisas y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
La probabilidad de que cierto río esté contaminado por nitratos es 0,60{,}6, por sulfatos es 0,40{,}4, y por ambos es 0,20{,}2. Calcúlese la probabilidad de que dicho río:
a
No esté contaminado por nitratos, si se sabe que está contaminado por sulfatos.1 pt
b
No esté contaminado ni por nitratos ni por sulfatos.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La longitud auricular de la oreja en varones jóvenes, medida en centímetros (cm), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ=0,6\sigma = 0{,}6 cm.
a
Una muestra aleatoria simple de 100100 individuos proporcionó una media muestral xˉ=7\bar{x} = 7 cm. Calcúlese un intervalo de confianza al 98%98\% para μ\mu.1 pt
b
¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de μ\mu por la media muestral sea a lo sumo de 0,10{,}1 cm, con un nivel de confianza del 98%98\%?1 pt
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