Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2020

6 ejercicios

Instrucciones

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Tracem la recta tangent a la funció f(x) = 1/x² + 1 per un punt P = (a, f(a)) del primer quadrant. Aquesta recta juntament amb els eixos de coordenades formen un triangle.
a
Comproveu que l'àrea d'aquest triangle, en funció de a, ve donada per la funció g(a) = (a² + 3)² / (4a).1,25 pts
b
En quin punt P l'àrea del triangle és mínima? Calculeu aquest valor mínim.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k: {5x + y + 4z = 19; kx + 2y + 8z = 28; 5x + y − kz = 23 + k}.
a
Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k.1,25 pts
b
Resoleu, si és possible, el sistema per al cas k = 0.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calculeu l'equació general del pla π que passa pel punt (8, 8, 8) i té com a vectors directors u = (1, 2, −3) i v = (−1, 0, 3).1,25 pts
b
Determineu el valor del paràmetre a perquè el punt (1, −5, a) pertanyi al pla π i calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular al pla π.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considereu la funció f(x) = (ax² + b) / x, en què a i b són dos paràmetres reals. Calculeu els valors de a i b de manera que la funció f(x) tingui una asímptota obliqua de pendent 1 i un mínim en el punt de la gràfica d'abscissa x = 2.
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sigui la matriu A = [[1, 1], [−3, −4]].
a
Trobeu la matriu X que satisfà l'equació AX = I − 3X, en què I és la matriu identitat d'ordre 2.1,25 pts
b
Comproveu que la matriu X és invertible i calculeu-ne la matriu inversa.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considereu la funció f(x) = x³.
a
Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a y = f(x) és paral·lela a la recta 3x − y = 4. Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes.1,25 pts
b
Calculeu l'àrea de la regió delimitada per y = f(x) i la recta y = 3x + 2.1,25 pts
Ver este ejercicio