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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2013

4 ejercicios

Instrucciones

OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Discuta, en función del parámetro aa, el siguiente sistema de ecuaciones:{x+y+z=1x−ay+z=1ax+y+z=4\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - ay + z = 1 \\ ax + y + z = 4 \end{cases}No hay que resolverlo en ningún caso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A=(1,3,−4)A = (1, 3, -4), B=(2,6,7)B = (2, 6, 7) y C=(5,−1,2)C = (5, -1, 2).
Representación de un paralelogramo con vértices etiquetados A, B, C y D en sentido antihorario.
a
Calcule el área del paralelogramo.1,25 pts
b
Determine el cuarto vértice, DD.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x - 1}, se pide:
a
Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.0,25 pts
b
Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).1 pt
c
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).0,75 pts
d
Representación gráfica aproximada.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida ∫10x2−x−6dx\int \frac{10}{x^2 - x - 6} dx.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las matrices A=(41−3−1)A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} y B=(1234)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. ¡OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo.
a
Compruebe que la matriz AA es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa A−1A^{-1}.1,25 pts
b
Resuelva la ecuación matricial AX+A2=BAX + A^2 = B.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Resuelva los siguientes apartados sobre geometría en el espacio:
a
Determine la ecuación del plano π\pi que contiene a los puntos A=(3,2,0)A = (3, 2, 0), B=(5,1,1)B = (5, 1, 1) y C=(2,0,−1)C = (2, 0, -1).0,75 pts
b
Determine la ecuación de la recta rr que pasa por los puntos D=(1,2,1)D = (1, 2, 1) y E=(2,−6,0)E = (2, -6, 0).0,75 pts
c
Estudie la posición relativa de rr y π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función dada porf(x)={x1−exsi x≠0−1si x=0f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1 - e^x} & \text{si } x \neq 0 \\ -1 & \text{si } x = 0 \end{cases}
a
Demuestre que la función es continua en todo R\mathbb{R}.1 pt
b
Determine si la función es derivable en x=0x = 0 y, en caso afirmativo, calcule f′(0)f'(0).1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Resuelva los siguientes apartados sobre cálculo integral:
a
Encuentre una primitiva de la función f(x)=arctg⁡xf(x) = \operatorname{arctg} x.1,5 pts
b
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje de abscisas entre x=0x = 0 y x=1x = 1.1 pt
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