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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las rectas rr y ss con ecuacionesr:{x=3+5λy=1+2λ,λ∈R,s:10x+ay+10=0r: \begin{cases} x = 3 + 5 \lambda \\ y = 1 + 2 \lambda \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}, \qquad s: 10x + ay + 10 = 0Calcula el valor de aa para que ellas sean:
i
paralelas;
ii
perpendiculares.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
i
Determina todas las soluciones del sistema de ecuaciones{sen⁡x−cos⁡y=1sen⁡x+cos⁡y=0\begin{cases} \operatorname{sen} x - \cos y = 1 \\ \operatorname{sen} x + \cos y = 0 \end{cases}
ii
Halla∫xexdx\int \frac{x}{e^x} dx
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea g(x)=x−2ln⁡(1+x)g(x) = x - 2 \ln(1 + x)
i
Determina el dominio de gg.
ii
Halla sus asíntotas.
iii
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de gg.
iv
Dibuja la gráfica de gg destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Para el triángulo ABCABC de vértices A(0,0,0)A(0, 0, 0), B(1,7,1)B(1, 7, 1), C(5,3,1)C(5, 3, 1):
i
Halla la longitud de la mediana que parte del vértice AA.
ii
Calcula el área del triángulo ABCABC.
iii
Determina la longitud de la altura que parte del vértice AA.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las rectas rr y ss con ecuacionesr:{x=3+5λy=1+2λ,λ∈R,s:10x+ay+10=0r: \begin{cases} x = 3 + 5 \lambda \\ y = 1 + 2 \lambda \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}, \qquad s: 10x + ay + 10 = 0Calcula el valor de aa para que ellas sean:
i
paralelas;
ii
perpendiculares.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
i
Determina todas las soluciones del sistema de ecuaciones{sen⁡x−cos⁡y=1sen⁡x+cos⁡y=0\begin{cases} \operatorname{sen} x - \cos y = 1 \\ \operatorname{sen} x + \cos y = 0 \end{cases}
ii
Halla∫xexdx\int \frac{x}{e^x} dx
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Seag(x)={x,si −π2≤x≤0α−cos⁡xsen⁡x,si 0<x≤π2g(x) = \begin{cases} x, & \text{si } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq 0 \\ \frac{\alpha - \cos x}{\operatorname{sen} x}, & \text{si } 0 < x \leq \frac{\pi}{2} \end{cases}
i
Halla el valor de α\alpha para el cual gg es continua en x=0x = 0.
ii
Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.
iii
Consideremos α\alpha igual al valor hallado en el inciso (i) y gg la correspondiente función para ese valor de α\alpha. Utiliza el teorema del valor medio de Lagrange para justificar que existe cc que cumple 0<c<π20 < c < \frac{\pi}{2} y g′(c)=2πg'(c) = \frac{2}{\pi}.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
SeanA=(1β021233β)yB=(−23−β/2)A = \begin{pmatrix} 1 & \beta & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & \beta \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -\beta/2 \end{pmatrix}
i
Determina los valores de β\beta para los cuales la matriz AA tiene inversa.
ii
Discute, según los valores de β\beta, el sistema de ecuaciones lineales A(xyz)=BA \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = B.
iii
Resuelve el sistema anterior para β=−2\beta = -2.
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