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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2015

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Dadas las rectas rr y ss con ecuaciones r:{x=3+5λy=1+2λ,λ∈R,s:10x+ay+10=0r: \begin{cases} x = 3 + 5 \lambda \\ y = 1 + 2 \lambda \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}, \qquad s: 10x + ay + 10 = 0 Calcula el valor de aa para que ellas sean:
i)
paralelas;
ii)
perpendiculares.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Dadas las rectas rr y ss con ecuaciones r:{x=3+5λy=1+2λ,λ∈R,s:10x+ay+10=0r: \begin{cases} x = 3 + 5 \lambda \\ y = 1 + 2 \lambda \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}, \qquad s: 10x + ay + 10 = 0 Calcula el valor de aa para que ellas sean:
i)
paralelas;
ii)
perpendiculares.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
i)
Determina todas las soluciones del sistema de ecuaciones {sen⁡x−cos⁡y=1sen⁡x+cos⁡y=0\begin{cases} \operatorname{sen} x - \cos y = 1 \\ \operatorname{sen} x + \cos y = 0 \end{cases}
ii)
Halla ∫xexdx\int \frac{x}{e^x} dx
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
i)
Determina todas las soluciones del sistema de ecuaciones {sen⁡x−cos⁡y=1sen⁡x+cos⁡y=0\begin{cases} \operatorname{sen} x - \cos y = 1 \\ \operatorname{sen} x + \cos y = 0 \end{cases}
ii)
Halla ∫xexdx\int \frac{x}{e^x} dx
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Sea g(x)=x−2ln⁡(1+x)g(x) = x - 2 \ln(1 + x)
i)
Determina el dominio de gg.
ii)
Halla sus asíntotas.
iii)
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de gg.
iv)
Dibuja la gráfica de gg destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
Sea g(x)={x,si −π2≤x≤0α−cos⁡xsen⁡x,si 0<x≤π2g(x) = \begin{cases} x, & \text{si } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq 0 \\ \frac{\alpha - \cos x}{\operatorname{sen} x}, & \text{si } 0 < x \leq \frac{\pi}{2} \end{cases}
i)
Halla el valor de α\alpha para el cual gg es continua en x=0x = 0.
ii)
Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.
iii)
Consideremos α\alpha igual al valor hallado en el inciso (i) y gg la correspondiente función para ese valor de α\alpha. Utiliza el teorema del valor medio de Lagrange para justificar que existe cc que cumple 0<c<π20 < c < \frac{\pi}{2} y g′(c)=2πg'(c) = \frac{2}{\pi}.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
3 puntos
Para el triángulo ABCABC de vértices A(0,0,0)A(0, 0, 0), B(1,7,1)B(1, 7, 1), C(5,3,1)C(5, 3, 1):
i)
Halla la longitud de la mediana que parte del vértice AA.
ii)
Calcula el área del triángulo ABCABC.
iii)
Determina la longitud de la altura que parte del vértice AA.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Sean A=(1β021233β)yB=(−23−β/2)A = \begin{pmatrix} 1 & \beta & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & \beta \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -\beta/2 \end{pmatrix}
i)
Determina los valores de β\beta para los cuales la matriz AA tiene inversa.
ii)
Discute, según los valores de β\beta, el sistema de ecuaciones lineales A(xyz)=BA \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = B.
iii)
Resuelve el sistema anterior para β=−2\beta = -2.
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