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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2013

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a2+a)x+2y+z=2(a2+a)x+(a2−a)y=4(a2−a−2)y+(a2−2a−1)z=2\begin{cases} (a^2 + a)x + 2y + z = 2 \\ (a^2 + a)x + (a^2 - a)y = 4 \\ (a^2 - a - 2)y + (a^2 - 2a - 1)z = 2 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Encuentra el punto RR que pertenece a la rectar≡x+12=y−3−1=z+33r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 3}{3}y equidista de los puntos P≡(−1,1,2)P \equiv (-1, 1, 2) y Q≡(1,3,6)Q \equiv (1, 3, 6).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Halla el valor de a∈Ra \in \mathbb{R} para que la funciónf(x)={e3−xsi x≤0(1+x)(1+ax)si x>0f(x) = \begin{cases} \sqrt{e^{3 - x}} & \text{si } x \leq 0 \\ (1 + x)^{(1 + \frac{a}{x})} & \text{si } x > 0 \end{cases}sea continua en todo R\mathbb{R}.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la función f(x)=sen⁡(x⋅cos⁡x)f(x) = \sen(x \cdot \cos x), demuestra que existe un valor α∈(0,π2)\alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) tal que f′(α)=−1f'(\alpha) = -1. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matrizA=(1−111)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}encuentra todas las matrices BB que cumplen AB=BAAB = BA.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las rectasr≡{2x+y+z+2=03x+y+2z+1=0ys≡x+31=y1=z+32r \equiv \begin{cases} 2x + y + z + 2 = 0 \\ 3x + y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x + 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{2}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Halla el máximo y el mínimo absolutos de la funciónf(x)=π2x+sen⁡(πx)f(x) = \frac{\pi}{2} x + \sen(\pi x)en el intervalo cerrado [0,3/2][0, 3/2].
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=1+ex−x2f(x) = 1 + ex - x^2 y g(x)=exg(x) = e^x, encuentra los dos puntos en que se cortan y calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).
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