Matemáticas II · Navarra 2013

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a^2 + a)x + 2y + z = 2 \\ (a^2 + a)x + (a^2 - a)y = 4 \\ (a^2 - a - 2)y + (a^2 - 2a - 1)z = 2 \end{cases}$$

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ encuentra todas las matrices $B$ que cumplen $AB = BA$.

Encuentra el punto $R$ que pertenece a la recta $$r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 3}{3}$$ y equidista de los puntos $P \equiv (-1, 1, 2)$ y $Q \equiv (1, 3, 6)$.

Encuentra la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las rectas $$r \equiv \begin{cases} 2x + y + z + 2 = 0 \\ 3x + y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x + 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{2}$$

Halla el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{e^{3 - x}} & \text{si } x \leq 0 \\ (1 + x)^{(1 + \frac{a}{x})} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ sea continua en todo $\mathbb{R}$.

Halla el máximo y el mínimo absolutos de la función $$f(x) = \frac{\pi}{2} x + \sen(\pi x)$$ en el intervalo cerrado $[0, 3/2]$.

Dada la función $f(x) = \sen(x \cdot \cos x)$, demuestra que existe un valor $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ tal que $f'(\alpha) = -1$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dadas las funciones $f(x) = 1 + ex - x^2$ y $g(x) = e^x$, encuentra los dos puntos en que se cortan y calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.