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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2017

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3,25 puntos
Consideremos la igualdad matricial A⋅M=BA \cdot M = B, donde A=(t2t2−1t1−111)A = \begin{pmatrix} t & 2t & 2 \\ -1 & t & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(1−301−22)B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
1)0,25 pts
¿Cuantas filas y columnas debe tener la matriz MM?
2)1,5 pts
¿Para qué valores de tt es la matriz AA invertible?
3)1,5 pts
En el caso t=−1t = -1, despeje la matriz MM en función de las matrices AA y BB y calcule su valor.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,25 puntos
Considere el sistema matricial (11111a3a2a2a)⋅(xyz)=(221) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \\ 3a & 2a & 2a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
1)1 pts
Determine los valores de aa para que el sistema sea compatible.
2)2,25 pts
Calcule todas las soluciones en el caso en el que sea compatible indeterminado y en el caso a=3a=3.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
Sea la función f(x)=x1+xf(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x}}.
1)2,5 pts
Calcule una primitiva de ff. Compruebe la solución obtenida.
2)1 pts
Calcule el área encerrada por ff y el eje y=0y = 0 y las rectas x=0x = 0 y x=4x = 4.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
Tenemos la función definida a trozos: g(x)={x+1xsix<02x3−15x2+36x+3six≥0 g(x) = \begin{cases} \frac{x + 1}{x} & \text{si} & x < 0 \\ 2x^3 - 15x^2 + 36x + 3 & \text{si} & x \geq 0 \end{cases}
1)2 pts
Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función gg en R−{0}\mathbb{R} - \{0\} y determine los máximos y mínimos relativos.
2)0,5 pts
Determine si la función es continua en x=0x = 0.
3)1 pts
Haga un esbozo del gráfico de la función en un entorno de x=0x = 0.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3,25 puntos
Sea PP el punto (0,2,2)(0, 2, 2). Sea rr la recta expresada de forma continua: r:x−24=y1=z+12 r: \frac{x - 2}{4} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{2}
1)0,75 pts
Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta rr.
2)1,5 pts
Calcule la distancia de PP a rr.
3)1 pts
Calcule un plano perpendicular a rr que pase por el punto PP.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3,25 puntos
Sean A=(−2,1,0)A = (-2, 1, 0), B=(1,1,1)B = (1, 1, 1), C=(2,0,2)C = (2, 0, 2) tres puntos de R3\mathbb{R}^3.
1)1 pts
Calcule la ecuación implícita (general) del plano que pasa por AA, BB y CC.
2)1 pts
Calcule la ecuación continua de la recta BC‾\overline{BC}.
3)1 pts
Calcule el área del triangulo definido por ABCABC.
4)0,25 pts
Determine, usando el producto escalar, si los vectores u⃗=(3,0,1)\vec{u} = (3, 0, 1) y v⃗=(4,−1,2)\vec{v} = (4, -1, 2) son ortogonales.
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