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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2017

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
1. Debe escogerse una sola de las opciones. 2. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Consideremos la igualdad matricial A⋅M=BA \cdot M = B, donde A=(t2t2−1t1−111)A = \begin{pmatrix} t & 2t & 2 \\ -1 & t & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(1−301−22)B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
1
¿Cuantas filas y columnas debe tener la matriz MM?0,25 pts
2
¿Para qué valores de tt es la matriz AA invertible?1,5 pts
3
En el caso t=−1t = -1, despeje la matriz MM en función de las matrices AA y BB y calcule su valor.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Sea la función f(x)=x1+xf(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x}}.
1
Calcule una primitiva de ff. Compruebe la solución obtenida.2,5 pts
2
Calcule el área encerrada por ff y el eje y=0y = 0 y las rectas x=0x = 0 y x=4x = 4.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sea PP el punto (0,2,2)(0, 2, 2). Sea rr la recta expresada de forma continua:r:x−24=y1=z+12 r: \frac{x - 2}{4} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{2}
1
Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta rr.0,75 pts
2
Calcule la distancia de PP a rr.1,5 pts
3
Calcule un plano perpendicular a rr que pase por el punto PP.1 pt
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considere el sistema matricial(11111a3a2a2a)⋅(xyz)=(221) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \\ 3a & 2a & 2a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
1
Determine los valores de aa para que el sistema sea compatible.1 pt
2
Calcule todas las soluciones en el caso en el que sea compatible indeterminado y en el caso a=3a=3.2,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Tenemos la función definida a trozos:g(x)={x+1xsix<02x3−15x2+36x+3six≥0 g(x) = \begin{cases} \frac{x + 1}{x} & \text{si} & x < 0 \\ 2x^3 - 15x^2 + 36x + 3 & \text{si} & x \geq 0 \end{cases}
1
Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función gg en R−{0}\mathbb{R} - \{0\} y determine los máximos y mínimos relativos.2 pts
2
Determine si la función es continua en x=0x = 0.0,5 pts
3
Haga un esbozo del gráfico de la función en un entorno de x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sean A=(−2,1,0)A = (-2, 1, 0), B=(1,1,1)B = (1, 1, 1), C=(2,0,2)C = (2, 0, 2) tres puntos de R3\mathbb{R}^3.
1
Calcule la ecuación implícita (general) del plano que pasa por AA, BB y CC.1 pt
2
Calcule la ecuación continua de la recta BC‾\overline{BC}.1 pt
3
Calcule el área del triangulo definido por ABCABC.1 pt
4
Determine, usando el producto escalar, si los vectores u⃗=(3,0,1)\vec{u} = (3, 0, 1) y v⃗=(4,−1,2)\vec{v} = (4, -1, 2) son ortogonales.0,25 pts
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