Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2014

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contesta sólo una de las dos opciones propuestas (OPCIÓN A/OPCIÓN B).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Consideremos el sistema de ecuaciones{ax+y=14x+ay=2\begin{cases} ax + y = 1 \\ 4x + ay = 2 \end{cases}donde aa es un cierto parámetro real. ¿Existe algún valor de aa para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para a=2a = 2.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Supongamos que queremos construir un gallinero rectangular (como el que se muestra en la figura) apoyado sobre dos muros formando un ángulo recto de longitudes 11 y 22 metros, respectivamente (en rojo en la figura). Si disponemos de 1515 metros de valla de alambre, ¿cuál es el área del mayor gallinero que podremos construir?
Esquema de un gallinero rectangular apoyado en dos muros perpendiculares de 1m y 2m, con dimensiones totales x e y.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Calcular el siguiente límitelim⁡x→−2(2x+1x2+x−2−1x+2).\lim_{x \rightarrow -2} \left( \frac{2x + 1}{x^2 + x - 2} - \frac{1}{x + 2} \right).
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Según la Encuesta de Población Activa, en la comunidad autónoma de La Rioja un 53%53\% de la población activa son hombres y un 47%47\% mujeres. De ellos, están en el paro el 18%18\% de los hombres y el 23%23\% de las mujeres. Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre en paro?
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

El número diario de corchos defectuosos que aparecen en una determinada empresa sigue una distribución normal de media 1010 y desviación típica 22. Si tomamos una muestra de cien corchos, determínese un intervalo de confianza al 90%90\% para la media de corchos defectuosos.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte A2
Consideremos la matrizA=(4−a2a−5−aa−1).A = \begin{pmatrix} 4 - a & 2a - 5 \\ -a & a - 1 \end{pmatrix}.
Datos
  • AtA^t indica la matriz traspuesta de la matriz AA
a
Determinar los valores de aa para los que existe la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
b
Tomando a=3a = 3, calcular las matrices B=A⋅AtB = A \cdot A^t y C=(5⋅A−1)2C = (5 \cdot A^{-1})^2.1 pt
c
Tomando a=3a = 3, determinar una matriz XX tal que A⋅X=25⋅A−1+A2⋅AtA \cdot X = 25 \cdot A^{-1} + A^2 \cdot A^t.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte A2
Mis hijos Julián y Víctor tienen un montón de peluches. Un 60%60\% de ellos son de Julián y los demás de Víctor. Entre los peluches de Julián hay una cuarta parte que son animales y los restantes son superhéroes. En el caso de Víctor los porcentajes están invertidos; es decir, tiene una cuarta parte que son superhéroes y los otros son animales.
a
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un peluche al azar sea un animal?1 pt
b
Si elegimos un peluche al azar y es un superhéroe, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Julián?1 pt
c
Como los peluches ya son un poco viejos, el mes pasado hubo que remendar una cuarta parte de ellos y, entre esos, la cuarta parte eran superhéroes. Usando el apartado a), calcula la probabilidad de que al elegir un peluche al azar sea un animal y no haya sido remendado.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Consideremos el sistema de ecuaciones{ax+y=14x+ay=2\begin{cases} ax + y = 1 \\ 4x + ay = 2 \end{cases}donde aa es un cierto parámetro real. ¿Existe algún valor de aa para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para a=2a = 2.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Supongamos que queremos construir un gallinero rectangular (como el que se muestra en la figura) apoyado sobre dos muros formando un ángulo recto de longitudes 11 y 22 metros, respectivamente (en rojo en la figura). Si disponemos de 1515 metros de valla de alambre, ¿cuál es el área del mayor gallinero que podremos construir?
Esquema de un gallinero rectangular apoyado en dos muros perpendiculares de 1m y 2m, con dimensiones totales x e y.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Calcular el siguiente límitelim⁡x→−2(2x+1x2+x−2−1x+2).\lim_{x \rightarrow -2} \left( \frac{2x + 1}{x^2 + x - 2} - \frac{1}{x + 2} \right).
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Según la Encuesta de Población Activa, en la comunidad autónoma de La Rioja un 53%53\% de la población activa son hombres y un 47%47\% mujeres. De ellos, están en el paro el 18%18\% de los hombres y el 23%23\% de las mujeres. Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre en paro?
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

El número diario de corchos defectuosos que aparecen en una determinada empresa sigue una distribución normal de media 1010 y desviación típica 22. Si tomamos una muestra de cien corchos, determínese un intervalo de confianza al 90%90\% para la media de corchos defectuosos.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte B2
Sea la función f(x)=−1−1x+1x−1f(x) = -1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1}.
a
Determinar el dominio de la función y, si existen, sus asíntotas.1 pt
b
Determinar, si existen, los puntos de la función en los que la recta tangente es paralela a la recta y=2014y = 2014.1 pt
c
Calcular la integral definida ∫01x⋅(x−1)⋅f(x) dx\int_{0}^{1} x \cdot (x - 1) \cdot f(x) \, dx.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte B2
El dueño del restaurante Carambola tiene que realizar el cuadrante diario para sus dos empleadas de cocina. Y tiene las siguientes restricciones: 1. La ayudante de cocina debe trabajar como mínimo dos horas diarias y como máximo cuatro y la jefa de cocina debe trabajar como mínimo cuatro horas diarias y como máximo ocho. 2. El número de horas de trabajo de la jefa de cocina más el doble de horas de la ayudante debe ser mayor o igual que diez y menor o igual que catorce.
a
Plantea el conjunto de restricciones del problema.1 pt
b
Dibujar la región factible asociada con las restricciones anteriores.1 pt
c
Si las horas de la jefa de cocina se pagan a 1212€ y las de la ayudante a 1010€, minimizar el gasto de personal de cocina diario.1 pt
Ver este ejercicio