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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Determine la ecuación en forma continua de la recta rr que pasa por el punto (1,1,1)(1, 1, 1) y es paralela a la recta r1r_1 de ecuaciones implícitasr1:{−3x+y−z+12=0x−2y−3z=0r_1: \begin{cases} -3x + y - z + 12 = 0 \\ x - 2y - 3z = 0 \end{cases}Dé la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la forma implícita de la recta calculada rr.
a
Determine la ecuación en forma continua de la recta rr.7 pts
b
Dé la ecuación vectorial.1 pt
c
Dé las ecuaciones paramétricas.1 pt
d
Dé la forma implícita.1 pt
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Considere la matrizA=(m100m23/221)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 0 & m & 2 \\ 3/2 & 2 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcule los valores de mm para los cuales la matriz AA no tiene inversa.4 pts
b
Si m=2m = 2 calcule, si es posible, la inversa de la matriz AA.4 pts
c
Si m=2m = 2, resuelva el sistema de ecuaciones A⋅(xyz)−(123)=(000)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x)=(x−3)4(x−1)f(x) = (x - 3)^4 (x - 1).
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Realice un dibujo del recinto limitado por las parábolas y=6x−x2y = 6x - x^2 y y=x2−2xy = x^2 - 2x y calcule el área de dicho recinto.
a
Dibujo del recinto.3 pts
b
Cálculo del área.7 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Determine la ecuación en forma continua de la recta rr que pasa por el punto (3,4,7)(3, 4, 7) y es perpendicular a las rectas r1r_1 y r2r_2 dadas porr1:x−12=y−33=z−42,r2:x−1=y−2=z−34r_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 4}{2}, \quad r_2: x - 1 = y - 2 = \frac{z - 3}{4}Dé la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la forma implícita de la recta calculada rr.
a
Determine la ecuación en forma continua de la recta rr.10 pts
b
Dé la ecuación vectorial.1 pt
c
Dé las ecuaciones paramétricas.1 pt
d
Dé la forma implícita.1 pt
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Considere la matrizA=(1−1221351a)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & a \end{pmatrix}
a
Discuta el rango de la matriz AA en función de los diferentes valores de aa.6 pts
b
Resuelva el sistema A⋅(xyz)=(123)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} para los valores de aa para los cuales el rango de la matriz AA es 3.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Calcule los valores de los parámetros aa, bb y cc de la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c de manera que la función f(x)f(x) tenga un máximo para x=−1x = -1, un mínimo para x=3x = 3 y pase por el punto (0,5)(0, 5).
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Utilizando el teorema de Bolzano y de Rolle, pruebe que la ecuación tg⁡x=2x\tg x = 2x tiene una única raíz real en el intervalo [−π4,π4]\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right].
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