Matemáticas II · Baleares 2010

Determine la ecuación en forma continua de la recta $r$ que pasa por el punto $(1, 1, 1)$ y es paralela a la recta $r_1$ de ecuaciones implícitas $$r_1: \begin{cases} -3x + y - z + 12 = 0 \\ x - 2y - 3z = 0 \end{cases}$$ Dé la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la forma implícita de la recta calculada $r$.

Determine la ecuación en forma continua de la recta $r$ que pasa por el punto $(3, 4, 7)$ y es perpendicular a las rectas $r_1$ y $r_2$ dadas por $$r_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 4}{2}, \quad r_2: x - 1 = y - 2 = \frac{z - 3}{4}$$ Dé la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la forma implícita de la recta calculada $r$.

Considere la matriz $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 0 & m & 2 \\ 3/2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Considere la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & a \end{pmatrix}$$

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función $f(x) = (x - 3)^4 (x - 1)$.

Calcule los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ de manera que la función $f(x)$ tenga un máximo para $x = -1$, un mínimo para $x = 3$ y pase por el punto $(0, 5)$.

Realice un dibujo del recinto limitado por las parábolas $y = 6x - x^2$ y $y = x^2 - 2x$ y calcule el área de dicho recinto.

Utilizando el teorema de Bolzano y de Rolle, pruebe que la ecuación $\tg x = 2x$ tiene una única raíz real en el intervalo $\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$.