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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2016

12 ejercicios

Instrucciones

Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Una fábrica de muebles de cocina vende 1.0001.000 unidades mensuales de un modelo de armario a 200200 € por unidad. Con el fin de reducir el stock, hace una oferta a los compradores y estima que, por cada euro de reducción del precio, las ventas mensuales del producto se incrementarán en 100100 unidades.
a
¿Cuántas unidades habrá que vender para obtener el máximo de ingresos mensuales?1,5 pts
b
¿A cuánto ascenderán estos ingresos?0,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Dos de las escalas que se suelen usar para medir temperaturas, la escala Fahrenheit y la escala Celsius, están relacionadas linealmente, es decir, la función que da la temperatura FF en grados Fahrenheit a partir de la temperatura CC en grados Celsius es una recta. La escala Celsius establece los 0∘C0^\circ\text{C} como temperatura de congelación del agua y los 100∘C100^\circ\text{C} como temperatura de ebullición. En la escala Fahrenheit, estos cambios de estado del agua ocurren a los 32∘F32^\circ\text{F} y a los 212∘F212^\circ\text{F}, respectivamente.
a
Escriba la función que, para cada temperatura expresada en grados Celsius, da la temperatura expresada en grados Fahrenheit.1 pt
b
¿A qué temperatura coinciden los grados Celsius con los grados Fahrenheit?1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Considere la función f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1 + x^2}.
a
Estudie su crecimiento y, si tiene, determine y clasifique sus extremos relativos.1 pt
b
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Dos familias van a una cafetería. La primera familia toma 11 refresco, 33 cafés y 77 magdalenas, y paga un total de 11,7511{,}75 €. La segunda familia pide 11 refresco, 44 cafés y 1010 magdalenas y paga por todo ello 15,515{,}5 €.
a
Diga, razonadamente, si es posible saber el precio de un café, el de un refresco y el de una magdalena.1 pt
b
Calcule cuánto ha de pagar una familia que tome un refresco, un café y una magdalena.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sea el sistema de ecuaciones {x−y+z=03x+4y−5z=6x−y=2\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 3x + 4y - 5z = 6 \\ x - y = 2 \end{cases}
a
Justifique si es compatible determinado.1 pt
b
Resuelva el sistema formado por las dos primeras ecuaciones.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sea la función f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}.
a
Estudie en qué intervalos ff crece y en qué intervalos decrece. Determine y clasifique, si los hay, los máximos y los mínimos de ff.1 pt
b
Escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Durante la última epidemia de Ébola se consideró que, sin ninguna intervención, el virus se propagaba aumentando en un 3%3\% diario el número de afectados. Suponga que en una población, hoy, hay 2525 personas infectadas.
a
Escriba la fórmula de la función que da el número de personas infectadas al pasar los días. ¿Cuántas personas estarán infectadas al cabo de 2020 días?1 pt
b
A partir de una fecha determinada, en esta población se aplican unas medidas sanitarias que permiten que el número de personas infectadas disminuya según la función g(x)=1.000⋅(0,95)xg(x) = 1.000 \cdot (0{,}95)^x. Si consideramos controlada la epidemia cuando el número de afectados es igual o inferior a 1010 personas, ¿cuántos días habrán de pasar después de aplicar las medidas sanitarias para poder declarar controlada la epidemia?1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Sabemos que la función derivada f′f' de una función ff, polinómica de tercer grado, corta el eje de las abscisas en los puntos x=−1x = -1 y x=2x = 2.
a
Justifique si es posible que f′f' corte también el eje de las abscisas en un punto diferente de los dos mencionados.1 pt
b
Si nos dicen que f′(1)=2f'(1) = 2, indique y clasifique los máximos y los mínimos de la función ff.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
El boleto ganador de una lotería está formado por tres números. Sabemos que la suma del primero y el segundo excede en dos unidades al tercero; que el primer número menos el doble del segundo es diez unidades menor que el tercero, y que la suma de los tres números es 2424. ¿Cuál es el boleto ganador?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Considere la región del plano limitada por las rectas siguientes:y=x+1,y=−x+1,y=x−1,y=−x−1y = x + 1, y = -x + 1, y = x - 1, y = -x - 1
a
Dibújela y calcule sus vértices.1 pt
b
Considere ahora la familia de rectas y=2x+ky = 2x + k. Calcule en qué punto de la región se obtiene el valor más grande de kk y determine este valor.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Tenemos cuatro rectas: la recta r1r_1 pasa por los puntos (−1,0)(-1, 0) y (0,1)(0, 1); la recta r2r_2 pasa por (−1,0)(-1, 0) y (0,−1)(0, -1); la recta r3r_3 pasa por (1,0)(1, 0) y (0,1)(0, 1), y la recta r4r_4 pasa por (1,0)(1, 0) y (0,−1)(0, -1).
a
Escriba las inecuaciones que cumplen los puntos de la frontera y del interior del cuadrado que determinan estas cuatro rectas y dibújelo.1 pt
b
Determine el valor máximo de kk que hace que la recta y=2x+ky = 2x + k tenga algún punto en común con el cuadrilátero anterior.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Considere las matrices A=(1−1−1321)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} y B=(2−131−12)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
a
Calcule las matrices A⋅BA \cdot B y B⋅AB \cdot A.1,5 pts
b
Justifique si en algún caso es posible calcular P2P^2 cuando PP es una matriz no cuadrada.0,5 pts
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