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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2022

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá responder razonadamente a cinco preguntas cualesquiera a elegir entre las diez que se proponen. Cada ejercicio se valorará sobre 2 puntos, y si consta de dos apartados, cada apartado se valorará sobre 1 punto. DURACIÓN: 90 minutos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sea a∈Ra \in \mathbb{R}. Considere las matricesA=(−a110−11a11)B=(111−110112)X=(xyz)Y=(102)A = \begin{pmatrix} -a & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
a
Determine los valores del parámetro real aa para que AA tenga inversa.1 pt
b
Calcule, para a=1a = 1, la solución del sistema (A−B)X=Y(A - B)X = Y.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{x+ay+z=2x−az=0x+y+z=2\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ x - az = 0 \\ x + y + z = 2 \end{cases}
a
Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de aa.1 pt
b
Resuelva el sistema para a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sea SS la región del plano definida por7y−8x≤3400,3x−8y≤2000,11x+14y≥9500,x≤1200,y≤1000.7y - 8x \leq 3400, \quad 3x - 8y \leq 2000, \quad 11x + 14y \geq 9500, \quad x \leq 1200, \quad y \leq 1000.
a
Represente gráficamente la región SS y calcule las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Obtenga el valor mínimo de la función f(x,y)=2x+yf(x, y) = 2x + y en SS, indicando el punto de la región en el cual se alcanza.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
a
Determine los valores de los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que la función f(x)=ax+bxf(x) = ax + \frac{b}{x} verifique que f(2)=4f(2) = 4 y f′(2)=0f'(2) = 0.1 pt
b
Encuentre todas las asíntotas de la función g(x)=x+1xg(x) = x + \frac{1}{x}.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Considere las funciones reales de variable real f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 y g(x)=−x2+ax+3g(x) = -x^2 + ax + 3.
a
Se define h(x)h(x) de la siguiente manera:h(x)={f(x),si x≤1g(x),si x>1h(x) = \begin{cases} f(x), & \text{si } x \leq 1 \\ g(x), & \text{si } x > 1 \end{cases}¿Qué valor debe darle a la constante a∈Ra \in \mathbb{R} para que la función hh sea continua en R\mathbb{R}?1 pt
b
Para a=2a = 2, halle el área de la región acotada del plano que está delimitada por las gráficas de ff y de gg.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Un investigador ha desarrollado un fertilizante para un determinado cultivo. Los estudios de mercado indican que los ingresos, I(x)I(x), en miles de euros, vienen expresados por la funciónI(x)=x170−0,85x5,I(x) = x \frac{170 - 0{,}85x}{5},en la que xx representa la demanda del producto, expresada en miles de litros. Por otra parte, los costes de producción que asume la empresa, en miles de euros, se expresan en función de la demanda mediante la función C(x)=10+2x+x2C(x) = 10 + 2x + x^2.
Datos
  • Exprese los resultados con 22 cifras decimales
a
Proporcione una expresión para la función beneficio en términos de la demanda xx y encuentre la cantidad de producto que debería venderse para maximizarlo. Obtenga también el beneficio máximo.1 pt
b
Determine entre qué valores debería encontrarse la cantidad demandada de fertilizante para que el coste medio, C(x)/xC(x)/x, no supere los diez mil euros.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Supongamos que el espacio muestral de cierto experimento aleatorio es la unión de los sucesos AA y BB. Esto es, E=A∪BE = A \cup B. Además suponga que P(A∩B)=0,2P(A \cap B) = 0{,}2 y P(B)=0,7P(B) = 0{,}7.
Datos
  • AcA^c y BcB^c son, respectivamente, los sucesos complementarios de AA y BB
a
Calcule P(Ac)P(A^c).1 pt
b
Calcule P(Ac∪Bc)P(A^c \cup B^c).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Tres amigas (Ana, Berta y Carla) elaboran una lista para hacer una fiesta sorpresa a una compañera de trabajo. Ana enviará el 30%30\% de las invitaciones, Berta el 40%40\% y Carla las restantes. El 2%2\% de los nombres de la lista de Ana son incorrectos y las invitaciones no llegarán a su destino. En las listas de Berta y Carla, los porcentajes de nombres incorrectos son 3%3\% y 1%1\%, respectivamente.
a
Calcule la probabilidad de que una invitación no llegue a su destino.1 pt
b
Si una invitación no llegó a su destino, ¿cuál es la probabilidad de que la haya enviado Ana?1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Una muestra de tornillos, tomada de una compañía encargada de fabricarlos, ha permitido obtener un intervalo de confianza del 95%95\% para estimar la proporción de tornillos con defectos de fabricación, siendo 0,20{,}2 y 0,30{,}3 los extremos de dicho intervalo.
a
Estime la proporción de tornillos con defectos de fabricación a partir de esa muestra y dé una cota del error de estimación al nivel de confianza considerado.1 pt
b
Utilizando el mismo nivel de confianza, ¿cuál sería el error máximo de estimación si esa misma proporción se hubiera observado en una muestra de 700700 tornillos?1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Considere una población donde observamos una variable aleatoria XX con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 1515. Se toma una muestra aleatoria simple para estimar la media muestral que arroja un intervalo de confianza cuyos extremos son 157,125157{,}125 y 182,875182{,}875.
a
Calcule el valor de la media muestral.1 pt
b
Si el tamaño de la muestra es 99, ¿cuál es el nivel de confianza para este intervalo?1 pt
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