Matemáticas CCSS · Madrid 2022

Sea $a \in \mathbb{R}$. Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} -a & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ x - az = 0 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

Sea $S$ la región del plano definida por $$7y - 8x \leq 3400, \quad 3x - 8y \leq 2000, \quad 11x + 14y \geq 9500, \quad x \leq 1200, \quad y \leq 1000.$$

Considere las funciones reales de variable real $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = -x^2 + ax + 3$.

Un investigador ha desarrollado un fertilizante para un determinado cultivo. Los estudios de mercado indican que los ingresos, $I(x)$, en miles de euros, vienen expresados por la función $$I(x) = x \frac{170 - 0{,}85x}{5},$$ en la que $x$ representa la demanda del producto, expresada en miles de litros. Por otra parte, los costes de producción que asume la empresa, en miles de euros, se expresan en función de la demanda mediante la función $C(x) = 10 + 2x + x^2$.

Supongamos que el espacio muestral de cierto experimento aleatorio es la unión de los sucesos $A$ y $B$. Esto es, $E = A \cup B$. Además suponga que $P(A \cap B) = 0{,}2$ y $P(B) = 0{,}7$.

Tres amigas (Ana, Berta y Carla) elaboran una lista para hacer una fiesta sorpresa a una compañera de trabajo. Ana enviará el $30\%$ de las invitaciones, Berta el $40\%$ y Carla las restantes. El $2\%$ de los nombres de la lista de Ana son incorrectos y las invitaciones no llegarán a su destino. En las listas de Berta y Carla, los porcentajes de nombres incorrectos son $3\%$ y $1\%$, respectivamente.

Una muestra de tornillos, tomada de una compañía encargada de fabricarlos, ha permitido obtener un intervalo de confianza del $95\%$ para estimar la proporción de tornillos con defectos de fabricación, siendo $0{,}2$ y $0{,}3$ los extremos de dicho intervalo.

Considere una población donde observamos una variable aleatoria $X$ con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a $15$. Se toma una muestra aleatoria simple para estimar la media muestral que arroja un intervalo de confianza cuyos extremos son $157{,}125$ y $182{,}875$.