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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2014

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija una de las dos opciones. No se admitirá ningún resultado si no está debidamente razonado. No se permite calculadora gráfica, ni programable. Está prohibido el uso de teléfonos móviles.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
a
Analizar el rango de la matriz A=(1−5−13−1−1−23k)A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -2 & 3 & k \end{pmatrix} según los valores del parámetro kk.1,5 pts
b
Basándote en los resultados obtenidos en el apartado A), ¿podrías afirmar si el siguiente sistema tiene solución?{x−5y=−13x−y=−1−2x+3y=7\begin{cases} x - 5y = -1 \\ 3x - y = -1 \\ -2x + 3y = 7 \end{cases}¿Y el siguiente?{x−5y=−13x−y=−1−2x+3y=1\begin{cases} x - 5y = -1 \\ 3x - y = -1 \\ -2x + 3y = 1 \end{cases}Justifica las respuestas utilizando los resultados obtenidos en el apartado A).1,5 pts
c
En caso de existir soluciones en alguno de los dos anteriores sistemas, calcúlalas.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Dada la función f(x)=x2−x−1ax+bf(x) = \frac{x^2 - x - 1}{ax + b}.
a
Determinar los valores de aa y bb sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto (2,5)(2, 5).1,75 pts
b
Si a=1a = 1 y b=1b = 1, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
La edad de los asistentes a un concierto homenaje a la música de los años 60 sigue una distribución normal con desviación típica de 5 años. Una muestra aleatoria de 250 espectadores ha dado como resultado una edad media de 56,356{,}3 años.
a
Obtener el intervalo de confianza del 98% para la edad media de los asistentes.1,5 pts
b
¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 97% sea un tercio del obtenido en el apartado anterior?1,5 pts
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Minimizar la función 3x+2y3x + 2y con las siguientes restricciones:{x−5y≤102x−3y≥60≤x≤8\begin{cases} x - 5y \leq 10 \\ 2x - 3y \geq 6 \\ 0 \leq x \leq 8 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Dada la función f(x)=x2+5x−14x2−x−2f(x) = \frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - x - 2}
a
Estudiar su continuidad, analizando los distintos tipos de discontinuidad que existan.1,75 pts
b
Determinar las asíntotas de la gráfica de la función, indicando sus ecuaciones. En el caso de que existan asíntotas verticales, indicar también la posición de la curva respecto a las mismas.1,5 pts
c
En aquellos puntos donde f(x)f(x) no es continua, ¿es posible definir de nuevo la función para evitar la discontinuidad? Razonar la respuesta.0,25 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Ana tiene un plan para el próximo sábado con sus amigos del instituto y sus compañeras de equipo de baloncesto. En primer lugar, irá al cine o a un concierto. La probabilidad de que vaya al cine es de 0,60{,}6. En segundo lugar, irá a cenar o a bailar. La probabilidad de ir a cenar es de 0,40{,}4 si ha ido al cine y de 0,80{,}8 si ha ido al concierto. De forma azarosa, saldrá con sus amigos del instituto o con sus compañeras de equipo, con la misma probabilidad para ambos grupos en cualquier acontecimiento.
a
¿Cuál es la probabilidad que Ana tiene de salir a cenar?1 pt
b
Si al final ha ido al cine, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho con sus compañeras?1 pt
c
¿Cuál es la probabilidad que tiene de salir con sus amigos del instituto e ir a cenar?1 pt
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