Matemáticas II · País Vasco 2012

Dado el sistema $$\begin{cases} x + (A + 1) y + A z = A + 1 \\ A y + z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$$

Para cada par de números reales $(a, b)$, se consideran las matrices: $$A = \begin{pmatrix} a & b & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 5 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & b & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$

Dados los puntos $A(1, 2, 3)$, $B(1, -2, 4)$ y $C(1, -3, a)$:

Se sabe que el plano $x + y + z = 4$ es perpendicular al segmento $AB$ y que lo divide en dos partes iguales. El punto $A$ es $(1, 0, 0)$. Halla las coordenadas del punto $B$ y calcula la intersección del segmento $AB$ con el plano.

Dada la función $f(x) = Ax^3 + Bx$, sabemos que pasa por el punto $P(1, 1)$ y además que en ese punto tiene tangente paralela a la recta $y = -3x$.

Una empresa fabrica cajas de cartón sin tapa, de volumen $4000$ centímetros cúbicos. Se sabe que las cajas tienen su base cuadrada. Hallar la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de cartón empleado en fabricarlas sea la mínima posible.

Dadas las curvas $y = x^4$ y $y = x^2$:

Calcular las siguientes integrales:

En el patio de un Instituto hay 80 escolares, alineados en 8 filas y 10 columnas. Cada escolar da la mano a todos los escolares que están a su alrededor. Suponiendo que el saludo entre dos personas se cuenta como un único saludo. ¿Cuántos saludos se dieron en total?

Comprueba que un polígono convexo de 6 lados tiene 9 diagonales.