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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2012

5 ejercicios

Instrucciones

Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema{x+(A+1)y+Az=A+1Ay+z=0x+y=1 \begin{cases} x + (A + 1) y + A z = A + 1 \\ A y + z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}
a
Discutirlo según los valores del parámetro A.1,25 pts
b
Resolverlo, si es posible, para el caso A = 4.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados los puntos A(1,2,3)A(1, 2, 3), B(1,−2,4)B(1, -2, 4) y C(1,−3,a)C(1, -3, a):
a
Calcular el valor del parámetro aa, de tal manera que los tres puntos AA, BB y CC estén alineados.1 pt
b
En el caso a=5a = 5 hallar la recta que pasa por el origen y que además sea perpendicular al plano que contiene a los puntos AA, BB y CC.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=Ax3+Bxf(x) = Ax^3 + Bx, sabemos que pasa por el punto P(1,1)P(1, 1) y además que en ese punto tiene tangente paralela a la recta y=−3xy = -3x.
a
De acuerdo a dichas condiciones calcular los valores de AA y BB.0,5 pts
b
Determinar los extremos relativos, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y por último realizar un dibujo de la función.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dadas las curvas y=x4y = x^4 y y=x2y = x^2:
a
Dibujar el recinto finito limitado por las gráficas de las dos curvas.1 pt
b
Calcular el área de dicho recinto.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
En el patio de un Instituto hay 80 escolares, alineados en 8 filas y 10 columnas. Cada escolar da la mano a todos los escolares que están a su alrededor. Suponiendo que el saludo entre dos personas se cuenta como un único saludo. ¿Cuántos saludos se dieron en total?
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Para cada par de números reales (a,b)(a, b), se consideran las matrices:A=(ab211−1355)yB=(2a11b−122−1) A = \begin{pmatrix} a & b & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 5 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & b & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}
a
Calcular los determinantes de las matrices AA y BB.0,5 pts
b
Para a=b=1a = b = 1, calcular el determinante de la matriz producto ABAB.0,5 pts
c
Obtener, razonadamente, para qué valores de aa y bb ninguna de las dos matrices tiene matriz inversa.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se sabe que el plano x+y+z=4x + y + z = 4 es perpendicular al segmento ABAB y que lo divide en dos partes iguales. El punto AA es (1,0,0)(1, 0, 0). Halla las coordenadas del punto BB y calcula la intersección del segmento ABAB con el plano.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Una empresa fabrica cajas de cartón sin tapa, de volumen 40004000 centímetros cúbicos. Se sabe que las cajas tienen su base cuadrada. Hallar la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de cartón empleado en fabricarlas sea la mínima posible.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular las siguientes integrales:
a
∫2x3ln⁡(x) dx\int 2x^3 \ln(x) \, dx1 pt
b
∫x−2x2−1 dx\int \frac{x - 2}{x^2 - 1} \, dx1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Comprueba que un polígono convexo de 6 lados tiene 9 diagonales.
a
¿Cuántas diagonales tendrá un polígono convexo de nn lados?1,25 pts
b
¿Cuántos lados tiene el polígono convexo que posee 230 diagonales?0,75 pts
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