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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2001Ordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2001

12 ejercicios

Instrucciones

El alumno debe resolver solo un ejercicio de cada un de los tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada uno de los ejercicios: Álgebra 3 ptos; Análisis 3,5 ptos; Estadística 3,5 ptos.

Ejercicio 1 · A · ÁLXEBRA

1Opción A
3 puntos
Álxebra
Calcula la matriz XX tal que AX=A+BAX = A + B siendo
Datos
  • A=(2101)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  • B=(3311)B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 1 · A · ANÁLISE

1Opción A
3,5 puntos
Análise
La temperatura (en grados centígrados) de un trozo de metal sumergido en una solución durante 9 horas viene dada por T(t)=10+t2−20tt+1T(t) = 10 + \frac{t^2 - 20t}{t+1} para 0<t<90 < t < 9.
a
Temperatura inicial del metal.0,5 pts
b
La temperatura, ¿aumenta o disminuye con el paso del tiempo? Justifíquese la respuesta.1,5 pts
c
¿Durante cuánto tiempo la temperatura del metal supera los cero grados?1,5 pts
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Ejercicio 1 · A · ESTATÍSTICA

1Opción A
3,5 puntos
Estatística
Cuando los motores llegan al final de una cadena de producción, un inspector elige los que deben pasar una inspección completa. Supóngase que se producen un 10%10\% de motores defectuosos, y que el 60%60\% de todos los motores defectuosos y el 20%20\% de los buenos pasan una inspección completa. Calcúlese:
a
Probabilidad de que un motor elegido al azar sea defectuoso y pase la inspección.1 pt
b
Probabilidad de que un motor elegido al azar sea bueno y pase la inspección.1 pt
c
Si conocemos que el 24%24\% de los motores pasan la inspección, ¿qué porcentaje de los mismos son defectuosos?1,5 pts
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Ejercicio 1 · B · ÁLXEBRA

1Opción B
3 puntos
Álxebra
Resuelve la ecuación matricial AX=BX+CAX = BX + C siendo:
Datos
  • A=(−12−21)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
  • B=(−3112)B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
  • C=(0−1)C = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 1 · B · ANÁLISE

1Opción B
3,5 puntos
Análise
Dada la función f(x)=xx−2f(x) = \frac{x}{x - 2}
a
Determinar: cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, asíntotas.2 pts
b
Representar su gráfica basándose en los datos del apartado A).1 pt
c
¿Existe algún punto de la gráfica en la que la recta tangente tenga pendiente positiva? Justifíquese la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 1 · B · ESTATÍSTICA

1Opción B
3,5 puntos
Estatística
Una máquina A produce cada día el doble de piezas que una máquina B. El 6%6\% de las piezas fabricadas por la máquina A son defectuosas, mientras que de las fabricadas por la máquina B solo son defectuosas el 3%3\%. Calcúlese la probabilidad de que de un lote de 10 piezas extraídas aleatoriamente de la producción total:
i
Exactamente dos sean defectuosas.1 pt
ii
Al menos 3 sean defectuosas.1 pt
iii
¿Cuál es el número esperado de defectuosas en un lote de 100?0,5 pts
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Ejercicio 2 · A · ÁLXEBRA

2Opción A
3 puntos
Álxebra
Los alumnos de un colegio tienen 120 camisetas, 110 pañuelos y 70 gorros. Con el fin de obtener dinero para el viaje de fin de curso, los van a poner a la venta en dos paquetes distintos; por el primero (dos camisetas, un pañuelo y un gorro) cobrarán 600 pesetas; y por el segundo (una camiseta, dos pañuelos y un gorro) 700 pesetas. ¿Cuántos paquetes de cada tipo deberán vender para obtener el máximo beneficio?
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Ejercicio 2 · A · ANÁLISE

2Opción A
3,5 puntos
Análise
a
Dada la función f(x)=−x2+bx+cf(x) = -x^2 + bx + c. Calcúlense los valores de bb y cc sabiendo que la función pasa por el punto (1,4)(1, 4) y en este punto la ecuación de la recta tangente es y=4y = 4.1,5 pts
b
Calcúlese el área comprendida entre la función f(x)=−x2+2x+3f(x) = -x^2 + 2x + 3 y la recta y=x+1y = x + 1.2 pts
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Ejercicio 2 · A · ESTATÍSTICA

2Opción A
3,5 puntos
Estatística
Datos
  • Xˉ∈N(μ,σn)\bar{X} \in N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})
a
La duración de cierto tipo de motor es una variable normal con una media de 10 años y desviación típica de 2 años. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de los motores por un período de 13 años. ¿Qué porcentaje de motores se espera que no cumplan la garantía?1,5 pts
b
Una fábrica de conservas desea conocer el tiempo que tarda en estropearse un producto que tiene almacenado. Elige una muestra de 400 unidades, resultando que el tiempo medio de descomposición de estos productos es de 172 horas. Por experiencias anteriores se conoce que la desviación típica de la variable normal tiempo de descomposición es de 5 horas. Con un nivel de confianza del 95%95\%, ¿entre qué valores se encuentra el tiempo medio de descomposición para la totalidad del producto almacenado?2 pts
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Ejercicio 2 · B · ÁLXEBRA

2Opción B
3 puntos
Álxebra
Dibuja la región determinada por las inecuaciones x>0,y>0,x+y<6,2x+y<10,x+y>3x > 0, y > 0, x + y < 6, 2x + y < 10, x + y > 3 y maximiza la función z=4x+3yz = 4x + 3y sometida a las restricciones dadas por estas inecuaciones.
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Ejercicio 2 · B · ANÁLISE

2Opción B
3,5 puntos
Análise
Un rectángulo, de perímetro 60, gira en torno a uno de sus lados. Calcular qué dimensiones del rectángulo hacen que el cilindro generado tenga el máximo volumen posible.
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Ejercicio 2 · B · ESTATÍSTICA

2Opción B
3,5 puntos
Estatística
Datos
  • Xˉ∈N(μ,σn)\bar{X} \in N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})
a
Un supervisor sometió una muestra de 16 fusibles a una cierta sobrecarga. Los tiempos que tardaron en fundirse dieron una media de 10,6310{,}63 minutos. Considerando que la variable “tiempo que tarda en fundirse un fusible sometido a esa sobrecarga” es normal con una desviación típica de 2,482{,}48 minutos, construir un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 95%95\%. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que el error en la estimación de la media sea inferior a 1 minuto con un nivel de confianza del 95%95\%?2 pts
b
Sean A y B sucesos independientes con P(A)=0,6P(A) = 0{,}6 y P(B)=0,2P(B) = 0{,}2. Calcúlese P(A∩B)P(A \cap B), P(A∪B)P(A \cup B) y P(A/B)P(A/B).1,5 pts
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