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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{2x−y+z=13x+ay+2z=3x+2y+az=2\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ 3x + ay + 2z = 3 \\ x + 2y + az = 2 \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los distintos valores de aa.1 pt
b
Resuélvalo, si es posible, en el caso en que a=0a = 0.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se consideran el plano π1\pi_1 que pasa por los puntos A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0) y C(0,0,−1)C(0,0,-1), y el plano π2\pi_2 que pasa por los puntos P(3,0,0)P(3,0,0), Q(0,6,0)Q(0,6,0) y R(0,0,−3)R(0,0,-3). Calcule:
a
Las ecuaciones generales o implícitas de π1\pi_1 y π2\pi_2.0,75 pts
b
La posición relativa de π1\pi_1 y π2\pi_2.0,75 pts
c
La distancia entre π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función y=5xex−1y = 5xe^{x-1}
a
Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.1 pt
b
Halle, si existen, los máximos mínimos y puntos de inflexión.1 pt
c
Dibuje aproximadamente su gráfica.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se considera la parábola y=6x−x2y = 6x - x^2.
a
Calcule la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la parábola en los puntos de corte con el eje OXOX.1 pt
b
Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la parábola y las rectas halladas anteriormente.0,5 pts
c
Calcule el área de ese recinto.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la matriz M=(021111−1−2−2)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}
a
Halle, si existe, la matriz inversa de MM.1 pt
b
Calcule la matriz XX que cumple X⋅M+M=2M2X \cdot M + M = 2M^2.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere los puntos A(1,0,1)A(1,0,1), B(0,1,1)B(0,1,1) y C(0,0,−1)C(0,0,-1).
a
Dé las ecuaciones de la recta rr que pasa por BB y CC.0,5 pts
b
Calcule el plano π\pi que pasa por AA y es perpendicular a rr.1 pt
c
Halle el punto de corte entre rr y π\pi.0,5 pts
d
Obtenga el punto simétrico de AA respecto de rr.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={2x−2si x<2ex−2+k2si x≥2f(x) = \begin{cases} 2x - 2 & \text{si } x < 2 \\ e^{x-2} + k^2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}
a
Determine el valor de kk para que la función sea continua en el intervalo [0,4][0,4].0,75 pts
b
Suponiendo que k=1k = 1, halle la recta tangente en x=3x = 3.0,5 pts
c
Suponiendo que k=1k = 1, halle el área que la función determina con el eje OXOX, para x∈[0,4]x \in [0,4].1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule lim⁡x→∞(2x+32x−1)x\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 3}{2x - 1} \right)^x
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