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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2010

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dado el sistema {2x−y+z=13x+ay+2z=3x+2y+az=2\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ 3x + ay + 2z = 3 \\ x + 2y + az = 2 \end{cases}
a)1 pts
Estudie su compatibilidad según los distintos valores de aa.
b)1,5 pts
Resuélvalo, si es posible, en el caso en que a=0a = 0.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dada la matriz M=(021111−1−2−2)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}
a)1 pts
Halle, si existe, la matriz inversa de MM.
b)1,5 pts
Calcule la matriz XX que cumple X⋅M+M=2M2X \cdot M + M = 2M^2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Se consideran el plano π1\pi_1 que pasa por los puntos A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0) y C(0,0,−1)C(0,0,-1), y el plano π2\pi_2 que pasa por los puntos P(3,0,0)P(3,0,0), Q(0,6,0)Q(0,6,0) y R(0,0,−3)R(0,0,-3). Calcule:
a)0,75 pts
Las ecuaciones generales o implícitas de π1\pi_1 y π2\pi_2.
b)0,75 pts
La posición relativa de π1\pi_1 y π2\pi_2.
c)1 pts
La distancia entre π1\pi_1 y π2\pi_2.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Considere los puntos A(1,0,1)A(1,0,1), B(0,1,1)B(0,1,1) y C(0,0,−1)C(0,0,-1).
a)0,5 pts
Dé las ecuaciones de la recta rr que pasa por BB y CC.
b)1 pts
Calcule el plano π\pi que pasa por AA y es perpendicular a rr.
c)0,5 pts
Halle el punto de corte entre rr y π\pi.
d)0,5 pts
Obtenga el punto simétrico de AA respecto de rr.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Dada la función y=5xex−1y = 5xe^{x-1}
a)1 pts
Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
b)1 pts
Halle, si existen, los máximos mínimos y puntos de inflexión.
c)0,5 pts
Dibuje aproximadamente su gráfica.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={2x−2si x<2ex−2+k2si x≥2f(x) = \begin{cases} 2x - 2 & \text{si } x < 2 \\ e^{x-2} + k^2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}
a)0,75 pts
Determine el valor de kk para que la función sea continua en el intervalo [0,4][0,4].
b)0,5 pts
Suponiendo que k=1k = 1, halle la recta tangente en x=3x = 3.
c)1,25 pts
Suponiendo que k=1k = 1, halle el área que la función determina con el eje OXOX, para x∈[0,4]x \in [0,4].
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Se considera la parábola y=6x−x2y = 6x - x^2.
a)1 pts
Calcule la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la parábola en los puntos de corte con el eje OXOX.
b)0,5 pts
Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la parábola y las rectas halladas anteriormente.
c)1 pts
Calcule el área de ese recinto.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Calcule lim⁡x→∞(2x+32x−1)x\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 3}{2x - 1} \right)^x
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