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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2015Variante 3

Matemáticas II · Andalucía 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Halla los valores aa, bb y cc sabiendo que la gráfica de la función f(x)=ax2+bx+cf(x) = \frac{ax^2 + b}{x + c} tiene una asíntota vertical en x=1x = 1, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de abscisa x=3x = 3.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫0πx2sen⁡(x)dx\int_{0}^{\pi} x^2 \operatorname{sen}(x) dx.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las siguientes matrices:A=(−122−1),B=(100−210321)yC=(100−150)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix}
a
Determina la matriz XX para la que AtXB−1=CA^t X B^{-1} = C, (AtA^t es la traspuesta de AA).1,5 pts
b
Calcula el determinante de B−1(CtC)BB^{-1} (C^t C) B, (CtC^t es la traspuesta de CC).1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta definida por {x=1y=1z=λ−2\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda - 2 \end{cases} y ss la recta dada por {x−y=1z=−1\begin{cases} x - y = 1 \\ z = -1 \end{cases}
a
Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.1,75 pts
b
Calcula la distancia entre rr y ss.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener 180 000 m2180\,000\,\text{m}^2 para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita vallado?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=∣x2−4∣f(x) = |x^2 - 4|
a
Haz un esbozo de la gráfica de ff.0,75 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ff y la recta y=5y = 5.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{2x+y+(α−1)z=α−1x−αy−3z=1x+y+2z=2α−2\begin{cases} 2x + y + (\alpha - 1)z = \alpha - 1 \\ x - \alpha y - 3z = 1 \\ x + y + 2z = 2\alpha - 2 \end{cases}
a
Resuelve el sistema para α=1\alpha = 1.1 pt
b
Determina, si existe, el valor de α\alpha para el que (x,y,z)=(1,−3,α)(x, y, z) = (1, -3, \alpha) es la única solución del sistema dado.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π\pi de ecuación mx+5y+2z=0mx + 5y + 2z = 0 y la recta rr dada porx+13=yn=z−12\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z - 1}{2}
a
Calcula mm y nn en el caso en el que la recta rr es perpendicular al plano π\pi.1 pt
b
Calcula mm y nn en el caso en el que la recta rr está contenida en el plano π\pi.1,5 pts
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